13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне

Точная квантовая теория струн на искривленном фоне построе­на лишь для весьма частных случаев и поднимает ряд сложных вопросов. Мы остановимся на этом предмете ввиду его важ­ности.

Рассмотренные типы фоновых многообразий являются пря­мыми произведениями ^-мерного пространства Минковского на пространства групп 50(N) или SU(N) [25]:

MXSO(N) или MXSU(N). (13.1.6.1)

Кроме того, компактифицированный радиус группового много­образия выбирается квантованным в единицах натяжения струны

R² = ^-\Kl (13.1.6.2)

где К — целое число.

Действие струны является суммой квадратичной формы дей­ствия Намбу—Гото и члена Весса — Зумино с коэффициента­ми, подобранными так, чтобы была восстановлена конформная

164 Глава 13

инвариантность; подробности, касающиеся условия квантования (13.1.6.2), можно найти в работах [25, 26] ¹).

Соотношение (13.1.6.2) позволяет показать [26], что алгебра SU(N)- или SO (N)-токов имеет очень простой вид: токи обра­зуют в точности алгебру Каца — Муди, основанную на группах SU(N) или50(ЛГ).

Поскольку компоненты тензора знергии-импульса все еще билинейны по токам, можно определить алгебру нормально упорядоченных операторов L_n [25, 27], которая снова оказы­вается алгеброй Вирасоро

[L_ny L_m] = (n — m)L_n+m+j2 (ft³ — n) 6_nt __m (13.1.6.3) с центральным зарядом с, задаваемым выражениями

SU(N)_t (13.1.6.4а)

_{+ А},„₂ для SO(N). (13.1.6.46)

Хотя эти модели и интересны, они обладают тем особым свойством, что не могут быть получены непрерывным преобра­зованием из плоских моделей, поскольку кривизна внутреннего многообразия принимает только квантованные значения.

Упражнение. Является ли величина с целой?

Дополнительное замечание. За время, прошедшее после чте­ния лекций, на которых основана данная книга, были достиг­нуты существенные успехи в различных направлениях исследо­ваний [28]. В работах [28] струна квантуется по теории воз­мущений на произвольном фоне. Согласованность квантовой теории налагает условия на фон. Излагать здесь эти интерес­ные работы было бы неуместно.

13.2. Квантование струны методом Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (БРСТ)

1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор

Наиболее быстрый, но не столь хорошо понятый способ полу­чения критической размерности 26 состоит в применении БРСТ-методов, которые обладают еще и тем дополнительным преимуществом, что они имеют чисто алгебраический характер.

Струна рассматривается как а-модель.

Квантование струны Намбу — Гото 165

Мысль о том, что БРСТ-методы могут оказаться полезными в квантовой теории струнных моделей, была впервые высказана в работе Полякова [7а] и воплощена в реальность в работах [19]. БРСТ-подход, по-видимому, также играет важную роль во вторично квантованном варианте теории струн [29], поэтому мы коротко опишем его здесь.

Один из ключевых концептуальных вопросов, возникающих в квантовой теории калибровочных полей, состоит в том, яв­ляется ли теория в действительности калибровочно-инвариант-ной. Хорошо известно, что калибровочная инвариантность в квантовой области представляет собой тонкий вопрос, смысл которого зависит от примененной схемы квантования.

Мы рассмотрим здесь такую схему, в которой все компоненты поля, включая те, которые соответствуют чисто калибровочным степеням свободы, трактуются как равноправные динамические операторы. Затем, чтобы компенсировать фиктивные квантовые эффекты, индуцированные чисто калибровочными операторами, вводятся дополнительные локальные поля — "духи".

Этот подход к квантовой теории имеет огромное преимуще­ство, состоящее в сохранении одного важного свойства полевых теорий, а именно пространственно-временной локальности. Бо­лее того, все основные поля обладают с-числовыми коммутаци­онными соотношениями, а не <7~^{числовЫМИ} (которые, как хо­рошо известно, приводят к запутанным проблемам упорядо­чения).

Динамика чисто калибровочных степеней свободы генери­руется путем добавления к классическому калибровочно-инва-риантному лагранжиану членов, фиксирующих калибровку, и членов Фаддеева — Попова. Различные калибровочные условия порождают различные лагранжианы и, следовательно, различ­ные операторы Гамильтона в квантовом линейном простран­стве определения операторов калибровочного поля и духовых операторов.

Для доказательства калибровочной инвариантности теории нужно показать, что эти различные гамильтонианы обладают одинаковыми матричными элементами между физическими со­стояниями.

Важная особенность, подмеченная Фрадкиным и др. [30], состоит в том, что различные выборы калибровки в лагранжиа­не приводят формально к БРСТ-инварианту — эрмитовым га­мильтонианам, связанным между собой соотношением¹)

[К,0], (13.2.1.1)

*) Формальным этот вывод является потому, что игнорируются пробле­мы упорядочения; соотношение (13.2.1.1) было получено с помощью конти­нуального интегрирования.

166 Глава 13

где оператор К зависит от выбора калибровки, a Q — (эрмитов) БРСТ-заряд!). В отличие от К оператор Q не зависит от ка­либровки. Позднее многие авторы обнаружили, что Н' — И есть "полная Q-производная".

Кроме того, Фрадкин и др. [30] дали также общий рецепт построения Q для любой калибровочной теории (с замкнутой алгеброй или без нее) и показали, что БРСТ-генератор яв­ляется нильпотентным, если пренебречь эффектами квантового упорядочения:

1 = 0. (13.2.1.2)

Заметим, что из уравнения (13.2.1.2) следует соотношение [ [К, Q], Q] = 0, требуемое БРСТ-инвариантностью операторов И и Н'. Классические основы и обзор узловых момектсв sthx замечательных работ [30] можно найти в работе [31], к кото­рой мы и отсылаем читателя. Ясно, что соотношению

(13.2.1.3)

может удовлетворить не любая пара квантовых состояний, по­скольку величина <х| [K,Q] |ф> в общем случае не равна нулю. Это приводит к определению физических состояний как состоя­ний, уничтожаемых БРСТ-зарядом [32]:

Q | ф) = 0. (13.2.1.4)

Соотношение (13.2.1.3) следует из условия на физические со­стояния (13.2.1.4) в том случае, если |х> и |^> являются физи­ческими состояниями. Того, что лишь подмножество полного линейного пространства состояний окажется физическим, разу­меется, следовало ожидать, поскольку мы включили в рассмот­рение и чисто калибровочные, и духовые степени свободы.

Вследствие условия нильпотентности (13.2.1.2) любое со­стояние вида Q|x> для произвольного ]%> является физиче­ским. Но из-за эрмитовости оператора Q такое состояние от­щепляется от остальных физических состояний, поэтому |-ф) следует отождествить с |i|)>+Q|x>:

(13.2.1.5)

Состояния вида Q\%) называются нулевыми состояниями.

Аналогично БРСТ-инвариантные операторы (такие как И) отображают физическое подпространство на себя и называются

^!) Квантовые скобки [ , 1 обозначают антикоммутатор нечетных объек­тов типа К и Q.

Квантование струны Намбу — Гото 167

наблюдаемыми. Такие наблюдаемые, как [K_t Q], рождают ну­левые состояния и должны быть отождествлены с нулем:

Н ~ Н + [К, Q]. (13.2.1.6)

Преобразования (13,2,1.5) и (13.2.1.6) называются кванто­выми калибровочными преобразованиями, поскольку, как мы уже упоминали, различные выбора калибровки в континуаль­ном интеграле приводят к гамильтонианам, связанным посред­ством (13.2.1,6). Кроме того, отношение эквивалентности (13.2.1.5) редуцирует физическое подпространство (13.2.1.4) таким образом, что в классической и квантовой теориях оказы­вается одинаковое число степеней свободы. Это свойство, а именно соответствующее сокращение чисто калибровочных сте­пеней свободы, является, конечно, еще одним проявлением принципа калибровочной инвариантности. Оно действительно ^должно иметь место, если калибровочная инвариантность реа­лизуется квантовомеханнчески. (Примечательно, что все соб­ственные значения оператора Q равны нулю, а его нормальная жорданова форма содержит одномерные и двумерные блоки. Условия (13.2.1.4) и (13.2.1.6) "уничтожают" двумерные блоки.)

Необходимо ясно понимать, что квантовая калибровочная инвариантность (13.2.1.5) и (13.2.1.6) не существовала бы, если бы оператор Q не был нильпотентиым. Например, состоя­ние Q|%) не являлось бы физическим нулевым состоянием, а число истинных квантовых степеней свободы отличалось бы от ожидаемого. Следовательно, можно сказать, что нильпо­тентность оператора Q есть квантовое выражение принципа калибровочной инвариантности. Без условия Q²=О нельзя было бы переходить от одной калибровки к другой, и калибро­вочная инвариантность не реализовалась бы на квантовом уровне.

В разд. 13.2.4 мы получим условия, при которых соотноше­ние Q² = О выполняется в теории струн. Было показано [19], что значение d = 26 следует из нильпотентности.

13.2.2. Классическое выражение для БРСТ-заряда

Рецепт получения классической величины Q из калибровочных связей описывается в литературе [30,31]. Каждой связи G_a сопоставляется пара канонически сопряженных духов ц^а и ^_а, удовлетворяющих соотношениям

^«, (13.2.2.1)

(13.2.2.2)

168 Глава 13

БРСТ-генератор имеет вид

РС^сЬЧ^а, (13.2.2.3)

Q = 0_аЦ^а -

где [G_a, G_b] = C^c_abG_c1 C^c_ah — структурные константы, и, оче­видно, удовлетворяет условию

[Q, Q] = Q. (13.2.2.4)

В уравнениях (13.2.2.2) и (13.2.2.4) символ [ , ] обозначает симметричные скобки Пуассона, соответствующие классическим фермионным переменным.

В нашем случае связями являются Ж(о) и Ж\(в). Гранич­ные условия для введенных духовых переменных те же, что и для лагранжевых множителей, а именно

_л±(2*+1) (_а) = о = г]¹ W (_a)_f (13.2.2.5а)

&l^k+l) (о) = 0 = &?^k) (a), (13.2.2.56)

при о =0, я. Здесь F^{2n) — производная по о порядка 2п. Следо­вательно, в ряд Фурье для величин ц¹ и {?± войдут лишь коси­нусы, а для ц^{ и &\ ■—синусы. С учетом условий (13.2.2.5) п является хорошо определенным каноническим генератором, по­скольку в Ш не возникает нежелательных граничных членов. В терминах фурье-компонент L_m и r\_m, tPm связей и духов соответственно выражение (13.2.2.3) имеет вид

п-т, (13.2.2.6)

tn И, /71

где

h«. ^_п] = -й«,-«. (13.2.2.7а)

< = Л-_т, П = ?-п, (13.2.2.76)

где ц_т — т-я фурье-компонента величины т]¹ + Л¹ (^в базисе exp imo) и т. д. Мы ввели для удобства множитель I в 0>_п-

Легко проверить, что величина Q вещественна и классиче­ски нильпотентна:

Q' = Q, (13.2.2.8а)

[Q, Q] = 0. (13.2.2.86)

Упражнения

1. Проверьте соотношения (13.2.2.8а) и (13.2.2.86) непосред­ ственно, используя выражение (13.2.2.6).

2. Постройте БРСТ-инвариантное расширение генераторов Пуанкаре [31]. Несут ли духи лоренцев индекс?

Квантование струны Намбу — Гото 169