256 Глава 16

Соответствующая связь соотносит количество право- и левобе-гущих мод.

Для описания динамики в световой калибровке удобно вве­сти действие световой калибровки, которое получается просто подстановкой калибровочных условий в ковариантное действие. Получаем

8

(16.1.8.12) где

UJ UJ (16.1.8.13)

a p^x—-двумерные матрицы Дирака:

0

^{J ld > (161-8Л4)}

При выводе выражения (16.1.8.12) мы использовали условие р⁺ = 0 (которое является следствием уравнений движения для Х~) и опустили соответствующие полные производные по вре­мени ¹).

Легко проверить, то уравнения Эйлера — Лагранжа, следую­щие из выражения (16.1.8.12), являются правильными светока-либровочными уравнениями (16.1.8.8) и (16.1.8.9) для физиче­ских поперечных мод Х\ б¹ и 0². В частности, мы видим, что уравнения (16.1.8.9) включают двумерные уравнения Дирака.

Действие световой калибровки полностью описывает откры­тую суперструну в калибровке светового конуса. В случае за­мкнутой струны к действию необходимо добавить связь на равенство номеров уровней в правобегущем и левобегущем секторах.

Наконец, для завершения светокалибровочного анализа су­перструны необходимо построить суп ер генераторы Пуанкаре. Это делается так же, как в предыдущих моделях, путем вы­ражения зависимых переменных через независимые. Непо­средственную запись суперзарядов Пуанкаре в калибровке светового конуса мы оставляем читателю [55]. Для этого тре-

¹) Мы не совсем строго рассматриваем нулевые моды р⁺ и Х^, так как

используем их уравнения движения внутри действия. Более строгий анализ, в котором эти моды последовательно рассматриваются как динамические переменные, читатель найдет в разделах, посвященных бозонной струне и суперчастице.

Суперструна 257

буются лишь выражения для Х~ и Х'~_у которые следуют из связи (16.1.4.1) «

Х~ = -Л-г (Х'' + х"') + гв'у-ё¹ + ев%~8², (16.1.8.15а) X^f~ = ^-rXⁱX^ri +iB^ly-B^y + iS²Y"6²'. (16.1.8.156)

Величина X~ квадратична по другим переменным, поэтому су­пергенераторы Пуанкаре приобретают кубические вклады.

16.2. Квантовая теория

По причинам, изложенным выше, до сих пор развито только квантование суперструны в калибровке светового конуса. На этом этапе читатель уже должен быть способен провести кван­товый светокалибровочный анализ суперструны, который ана­логичен анализу в бозонном случае [36]. Поэтому мы лишь вос­произведем результаты.

Оказывается, что квантовая супералгебра Пуанкаре не имеет аномалии только в десяти измерениях [36, 44, 55]. Спектр от­крытой d = 10-суперструны соответствует суперсимметричному усечению открытой фермионной струны Неве — Шварца — Ра-мона, которая обладает N = 1 -суперсимметрией. Частицы ос­новного состояния образуют суперянг-миллсовский калибровоч­ный мультиплет.

Спектр замкнутой суперструны может быть снова усечен пу­ тем удержания только таких состояний, которые симметричны при замене с—> а (неориентированная суперструна = замкну­ тая суперструна типа I). Это симметричное усечение не инва­ риантно при обеих суперсимметриях, а обладает лишь N= 1- суперсимметрией. Основным состоянием является калибровочный мультиплет d = 10, N = 1-супергравитации. Спектр совпа­ дает с суперсимметричным усечением замкнутой фермионной струны Неве — Шварца — Района. Можно показать, что взаи­ модействия открытых суперструн могут породить замкнутую суперструну типа I, так что они вместе образуют единую ''тео­ рию типа Г'.

Полный спектр замкнутой суперструны не инвариантен при

замене а^> а, поэтому он соответствует ориентированной

струне ("типа II"). Он обладает N = 2-суперсимметрией. В за­висимости от относительных киральностей б¹ и Э² теория назы­вается теорией типа Па или типа Пб. Основные состояния этих теорий являются калибровочными мультиплетами двух раз­личных моделей d — 10, N = 2-супергравитации (тип Па

258 Глава 16

соответствует размерной редукции d=ll, N = 1 -супергравита­ции; тип Нб — d = 10, N = 2-киральной супергравитации). Под­робнее об этом см. работу [36].