16.3.5. Модель Сиджела

Мы показали, что связи первого рода, содержащиеся в %, можно отождествить ковариантно, хотя и избыточным способом.

Сиджел [65] предложил новую теорию, в которой удержи­ваются только связи первого рода ф и Ш и не учитываются связи второго рода, содержащиеся в %. Каноническое действие для этой теории имеет вид

5 = $ (р_АХ^Л + РоВ - Н) d%, (16.3.5.1)

а единственные связи _

^ = 0, ^=0. (16.3.5.2)

В этой новой модели возникает проблема, связанная с тем, что она содержит состояния с отрицательной нормой, поскольку эти нежелательные состояния необходимы для представления ка­нонических фермионных антикоммутационных соотношений, следующих из выражения (16.3.5.1) без связей второго рода. Чтобы понять это, рассмотрим световую калибровку

Y+6 = 0, X⁺~ т. (16.3.5.3)

Кинетический член для фермионов принимает вид

(16.3.5.4)

где а — 50(8)-спинорный индекс. Кроме того, Э^а — 50 (8)-све­товой спинор, удовлетворяющий соотношению (16.3.5.3). Он со­держит 8 независимых вещественных компонент, если учесть майорана-вейлевское условие (см. приложение В).

Из выражения (16.3.5.4) следует, что 0^а и р^а_в, не связанные

в модели Сиджела, удовлетворяют соотношениям со скобками Пуассона:

^{[еа, еь] = о, [е°,р>] = ба\ [Р;Р*] = о. (16.3.5.5)}

Соответствующие антикоммутаторы имеют вид

^a=id^a\ (1б.з.5.ба)

Ре/>е + РеРе == °- (16.3.5.66)

264 Глава 16

Поскольку спинор 6^а вещественный, единственный способ удов­летворить условию (0^а)² = О состоит в использовании гильбер­това пространства с индефинитной метрикой. (В истинном гиль­бертовом пространстве условия (6°)² = 0 и 6° = (6°)* озна­чали бы, что 6^а = 0, что противоречит соотношениям (16.3.5.6а).) Назначение связей второго рода в первоначальной модели су­перчастицы как раз и состоит в избежании этой проблемы пу­тем придания фермионам корректного кинетического члена

_еаёа.

Хотя модель Сиджела имеет тот недостаток, что присут­ствуют состояния с отрицательной нормой, тем не менее инте­ресно провести квантование ее БРСТ-методами. С этой целью можно провести усечение теории в положительно определенный сектор. Эта процедура, вероятно, должна быть эквивалентна модели суперчастицы.

Примечательное свойство модели Сиджела в БРСТ-контек-сте состоит в том, что это первый пример теории, которая нуж­дается в бесконечной последовательности компенсационных ду­хов для духов, чтобы сохранить явную ковариантность. Такая теория является приводимой теорией "бесконечного каскада" [66]. Это свойство присутствует и в первоначальной модели (16.3.1.1).

Мы уже подчеркивали неоднократно, что связи <j> и Ж не независимы, но удовлетворяют соотношению

(16.3.5.7)

(тождественно).

Но в БРСТ-формализме на одну независимую связь долж­на вводиться только одна пара канонически сопряженных ду­хов. Но поскольку не существует простого ковариантного спо­соба выделить независимые связи из <$> и Ж, по-видимому, та­кое ортодоксальное применение БРСТ-методов столкнулось бы с теми же трудностями неявной ковариантности, которых мы хотели избежать, опустив связи второго рода.

Способ решения этой проблемы хорошо известен [66]; он описан в работе [31]. С каждой связью ассоциируется пара канонически сопряженных духов, после чего вводятся следую­щие "духи для духов", компенсирующие неправильный счет. Следовательно, сначала вводят "первичные" духи (г\_}п) и

(С, J^¹)), удовлетворяющие соотношениям

ь л]=1 = [я, ц], (16.3.5.8а)

(16.3.5.86)

Суперструна 265

Духи [к\уя] являются антикоммутирующими скалярами, а духи

(С, 0-' }— коммутирующими майорана-вейлевскими спинорами соответствующей киральности. Они обладают следующими ду­ховыми числами:

gh (i|) = gh (С) = — gh (я) = — gh О⁽¹⁾) = 1. (16.3.5.9) На этом первом этапе БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]

( 1

Q == i-р²П + pejSC (16.3.5.10)

0> 1 . о>

"2

и, очевидно, является нильпотентным.

Затем вводят вторичные духи, компенсирующие избыточный счет связей. Как объясняется в работах [66, 31], на каждое независимое соотношение между связями должна вводиться одна пара канонически сопряженных духов.

Каково число независимых соотношений (16.3.5.7), которым удовлетворяют связи? Конечно, не 16, как может показаться из того факта, что условие (16.3.5.7) есть майорана-вейлевский

спинор, а лишь 8. Действительно, коэффициенты X перед свя­зями в соотношении (16.3.5.7) удовлетворяют условиям

0, Х% (pf_Q « 0, (16.3.5.11)

где Х$ и Х§ определяются соотношениями

*„ =-2 (^ (16.3.5.12)

Следовательно, они не могут быть независимыми.

Можно ли ковариантно выделить из соотношений (16.3.5.7) 8 независимых? Здесь мы наталкиваемся на трудности того же типа, что и выше (соотношение (16.3.5.7) определяет неприво­димое представление группы 50(9, 1)). Соответственно лучше не разделять соотношения (16.3.5.7) на зависимые и независи­мые, а ввести столько канонически сопряженных пар вторич­ных духов, сколько имеется соотношений (16.3.5.7), и компен­сировать последние духи путем введения "духов для духов".

(2) _

Вторичные духи, обозначаемые С и !?⁽²\ являются антиком­мутирующими спинорами и удовлетворяют соотношениям

(2\ 12)

?£> С°] (C)(^²⁾) = 2. (16.3.5.13)

266 Глава 16

На этом втором этапе БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]

(I) (2)

(16.3.5Л4а)

(2) (2) _ (2)

Q = $>^{[)рС - 2лр₀С, (16.3.5.146)

и все еще, очевидно, является нильпотентным.

Следующий шаг состоит во введении третичных духов, ко­торые учитывают то обстоятельство, что уравнения (16.3.5.11)

для Х^а$ и Х$ не все являются независимыми, как мы уже под­черкивали. Вместо этого имеем

х\Д~0, (16.3.5.15)

(2) (О (1)

где X е определяются как коэффициенты перед X р и Хр в урав­нении (16.3.5.11):

(1) (2) (1) (2) (2) _ft

^р ~ 0, ХрХ^р_р « 0<=*-Х^р_р = /р. (16.3.5.16)

Уравнения (16.3.5.15) можно переписать в виде

(2) (3) (3) _ft

ГЛ»0, *%=/_р. (16.3.5.17)

Используемый прием [66, 31] состоит в введении такого ко­личества пар духов, сколько имеется независимых уравнений

(2)

для Х^ар. Каково же это число? Оно снова равно 8, так как ко-

(3)

эффициенты Х^р_р не являются независимыми:

(3) (4)- <♦)- _ft

^{Гр^р«0, где 1%=Д. (16.3.5.18)}

(3)о

Кроме того, нельзя ковариантно разделить X _р на зависимые и независимые компоненты. Следовательно, мы вводим больше третичных духов, чем это в действительности нужно, и учиты­ваем соотношения (16.3.5.18) путем введения "духов для духов для духов для духов".

На третичной стадии БРСТ-генератор имеет вид [66, 31]

(П (2) (3)

Q = Q + Q + Q, (16.3.5.19а)

(3) (3) (3)

Q =0*²⁾0С —2jtf*ⁿC; (16.3.5.196)

Суперструна 267

О) _

он снова, очевидно, нильпотентен. Здесь С и ^*⁽³⁾ — коммутирую­щие майорана-веилевские спиноры, удовлетворяющие условиям

[С*, &f] = - Щ\ С^а] = б?, (16.3.5.20а>

_gh (С⁽³⁾) = - gh (^⁽³⁾) = 3. (16.3.5.206)

Эта процедура далее повторяется бесконечно по тому же образцу, если мы не желаем на некотором этапе нарушить яв­ную ковариантность. При этом требуется бесконечная последо­вательность духов для духов. Соответствующий БРСТ-генера-тор имеет вид

с .

(16.3.5.21)

Но автору не очевидно, что эта бесконечная последовательность может представлять смысл. Число истинных фермионных степе­ней свободы, которое должно быть равно 8 (16 минус 8 неза­висимых связей первого рода), задается бесконечной суммой 16—16+16—16+ ... (коммутирующие и антикоммутирую-щие духи дают вклады с противоположными знаками), не имею­щей очевидного смысла. Было бы интересно исследовать в дета­лях когомологию БРСТ-оператора (16.3.5.21) и посмотреть, мож­но ли определить функциональное пространство, на котором ге­нератор Q действует таким образом, что БРСТ-когомология вос­производит желаемые результаты.

Этот вопрос не входит в сферу нашего обсуждения, главной целью которого было представить первый известный явный при­мер теории, являющейся бесконечно приводимой.

Упражнение. Рассмотрите теорию с одной коммутирующей степенью свободы (q,p), характеризуемой избыточными свя­зями ф{ = р, ф2 = р.

а. Обсудите дираковское квантование.

б. Вычислите БРСТ-когомологию, ассоциированную с невер­ ным БРСТ-оператором Q^w = рц¹ + prf.

в. Запишите правильный БРСТ-оператор и вычислите его когомологию. Покажите, что в подходящем функциональном пространстве она совпадает с физическим пространством п. а. (В частности, если С—"дух для духа'* с духовым числом 2, то нужно работать с формальной последовательностью положи­ тельной степени по CJ

268 Глава 16