15.4.3. Замкнутая струна

Здесь мы рассмотрим любопытную комбинацию правобегущего сектора модели Неве — Шварца с левобегущим сектором модели Района [50]. Произведение двух моделей Рамона рассматри­ваться не будет.

Нульмодовые связи имеют вид

£₀ —4"⁼⁰ и Г₀ —0. (15.4.3.1)

Отсюда уравнение массовой поверхности и условие "равенства правого и левого" имеют вид соответственно

^=A^l. (15.4.3.3)

¹) Поскольку р+ и р¹ не ограничены, оказывается также, что р° может быть положительным и отрицательным, как в предыдущих моделях. Состоя­ния с отрицательным р° могут интерпретироваться как античастицы. Их можно отождествить с состояниями обладающими положительным р° (ча-•стнцы основного состояния = античастицы основного состояния), что равно­сильно выбору лишь значений р° > 0 (в свободном спектре). Это и сделано здесь. Но в принципе на данном этапе можно не проводить этого отождест­вления, удваивающего спектр.

236 Глава 15

Уравнение (15.4.3.3) можно использовать для преобразования уравнения (15.4.3.2) к виду

aM = 2N_L. (15.4.3.4)

В спектре отсутствует тахион, так как Л/l ^ 0.

Чтобы понять этот результат, заметим, что основное состоя­ние |0> не удовлетворяет условию (15.4.3.3), так как имеет jV_r — 0 = N_L. Следовательно, оно исключено из физического подпространства, определяемого связью замкнутой струны (15.4.3.3).

Суть состоит в том, что тахион из одного сектора струны может уничтожиться в моделях замкнутой струны, когда этот сектор связывается, как в условии (15.4.3.3), с другим сектором, свободным от тахионов. Сходный механизм имеет место в слу­чае гетеротической струны.

Из условия (15.4.3.3) следует, что Л/r должно быть полуце­лым. Возникают только состояния Неве — Шварца с G-чет-ностью +1.

Первое состояние имеет вид

b\h\O)u(p⁺, p~) (15.4.3.5)

и описывает две безмассовые частицы спина 3/2 и 1/2 [50] ^]). Построение высших возбужденных состояний мы оставляем чи­тателю; все они обладают полуцелым спином.

15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях

15.5.1. Открытая струна

Как оказалось, модели фермионных струн обладают следую­щим замечательным свойством: при подходящем усечении мо­делей Неве — Шварца и Рамона получаются соответственно бо-зонный и фермионный спектры, образующие при объединении десятимерные суперсимметричные мультиплеты на каждом мас­совом уровне [50] (см. также [50а]).

Усечение сектора Неве — Шварца заключается в удержа­нии только части спектра с G=l. Это исключает тахион. Все состояния имеют целую массу. Усечение сектора Рамона со­стоит в выборе спинорного вакуума с определенной ориентацией.

После этих усечений значения масс в обоих секторах стано­вятся равными. Кроме того, Глиоцци и др. [50] показали, что и количества состояний на каждом массовом уровне одинаковы,

^d) Если спинор и не удовлетворяет вейлевскому условию, таких состоя­ний имеется в два раза больше.

Фермионная струна: квантовый анализ 237

Рис. 15.1. Основное состояние суперсимметрнчного усечения комбинированной модели Неве — Шварца — Рамона есть безмассовый калибровочный мульти-

плет суперянг-мнллсовской теории.

т. е. выполняется необходимое условие суперсимметрии (равные числа бозонов и фермионов).

Доказательство здесь не приводится, мы просто проверим верность этого утверждения для первых двух уровней.

Безмассовые состояния в модели Неве — Шварца образуют 50 (8)-вектор с восемью спиральностями. Безмассовое спинор-ное основное состояние в модели Рамона также имеет восемь "поляризаций" для определенной ориентации.

Таким образом, имеется 128 бозонных состояний при и/М²=\ (см. уравнение (15.3.2.6)). Имеется также 128 фермионных со­стояний, если основное спинорное состояние ограничено вейлев­ским условием (см. уравнение (15.4.2.4)). Следовательно, ра­венство чисел состояний выполняется при а'А1²=0, 1 и, как легко видеть, также при а'М² = 2.

Вид комбинированного суперсимметричного спектра Неве — Шварца — Рамона показан на рис. 15.1 [50].

Основное состояние открытой суперсимметричной струны Не­ве— Шварца—- Рамона содержит безмассовые частицы спина 1/2 и 1. Это те же частицы, которые входят в калибровочный супермультиплет суперянг-миллсовскои теории (точнее, супер­электромагнетизма, поскольку мы не включаем здесь внутрен­ние квантовые числа).

Напомним, что калибровочное поле суперэлектромагнетизма состоит из вещественного векторного поля Аа и вещественного (т. е. майорановского) спинорного поля t|>. Условие веществен­ности выражает тот факт, что частицы в калибровочном муль-типлете являются своими античастицами. Кроме того, поле -ф есть вейлевский спинор. Это эквивалентно определенной ориен­тации основного состояния струны. Майор ановское и вейлевское условия не являются совместными в произвольном числе измере­ний. Оказывается, что майорана-вейлевские спиноры существуют в 2 mod 8 измерениях, а следовательно, в 10 измерениях.

238 Глава 15

Для завершения доказательства суперсимметрии необходимо^ определить закон преобразования суперсимметрии внутри су­пер мультиплетов. Глиоцци и др. [50] этого не сделали. Генера­торы суперсимметрии были определены Грином и Шварцем [55] путем использования их нового формализма.