Глава 2

Бозонные струны

Описание точечных частиц лучше всего начать со свободной бесспиновой частицы. Такая частица движется вдоль однопа-раметрической траектории л^(т). Классическое действие, опи­сывающее движение точечной частицы, не должно зависеть от того, каким образом задана параметризация траектории, и вы­бирается пропорциональным длине пути, пройденному части­цей (используется пространственноподобная метрика)

^sf ^%f\

х²(т), (2.1)

^si

где т — масса частицы и х^ = dx^/dx. Инвариантность дей­ствия (2.1) относительно репараметризации приводит к появ­лению аналога гравитации. Считая, что х^(х)—набор скаляр­ных полей в одномерном пространстве, мы можем ввести мет­рику g == g_rx и записать действие так же как и для скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией в четырех измере­ниях:

S=-±\di^g(g-ⁱx*-m²). (2.2)

(Заметим, что массовый член входит в это действие как космо­логическая постоянная.)

Из действия (2.2) можно исключить метрику g. Для этого подставим решение уравнения движения для g в действие (2.2) и получим выражение (2.1); таким образом, действия (2.1) и (2.2) эквивалентны, по крайней мере на классическом уровне. Выражение (2.2) в действительности является более общим, так как допускает предел т = 0.

Аналогично можно построить действие для свободно дви­жущейся струны. В простейшем случае мы будем описывать струну ее fif-мерными координатами Минковского х^(о, т). Па­раметры ху и т задают точки на мировом листе, которые струна заметает при своем движении; а—координата вдоль простран-<;твенноподобного направления, а т— вдоль времениподобного.

20 Глава 2

В качестве действия для струны можно взять обобщение как выражения (2.1), так и выражения (2.2). Мы рассмотрим вто­рой способ. Введем метрику на мировом листе g_a$\ обратную-метрику обозначим g^a$. Тогда репараметризационно-инвариант-ное действие записывается в виде [15]

я ^Tf

0 xi

где g~ deig_a$, a T — постоянный множитель (необходимый для того, чтобы поле X^il имело размерность длины), который оказывается равным натяжению струны.

Симметрии действия (2.3)—это глобальная пуанкаре-инва-риантность

в = 0, (2.4)

локальная репараметризационная инвариантность

— & о_ах ,

а также локальная вейлевская инвариантность

= 0. (2.6)

На классическом уровне можно исключить gafs из выраже­ния (2.3), решив уравнения движения для g_a$ алгебраически и подставив решение обратно в действие. Полученное таким образом выражение является действием Намбу — Хара — Гото [11,12] и пропорционально площади мирового листа (по опре­делению репараметризационно-инвариантное выражение). Для исключения поля g_a$ на квантовом уровне потребуется вычис­лить континуальный интеграл. В общем случае остается "лиу-виллевская мода" (нарушающая вейлевскую инвариантность) за исключением особого случая d = 26 [14]. Вопрос о том,, можно ли построить разумную теорию бозонных струн в слу­чае d <C 26, до сих пор не решен полностью. В последующих главах части I мы будем рассматривать только теории струн в их критических размерностях.

Заметим, что на этом этапе мы не можем ввести космоло­гическую постоянную, если мы требуем вейлевской инвариант­ности (2.6).

Квантование системы будем проводить стандартным обра­зом, используя гамильтонов формализм. Сначала вычислим

Бозонные струны 2f?

канонически сопряженные импульсы:

(2.8>

Равенства (2.7) образуют набор первичных связей

. ССр СХр s\ /с\ Г\\

ij? — р — 0, (2.9)

Вычисляя плотность гамильтониана, находим

^1/2 h^/2]> (2.10).

где я' — дх/до.

Следуя методу Дирака [35] квантования систем со свя­зями, определим полный гамильтониан

Я = j da (Ж — Л_арр^аР), (2.11)

о

где Л_ар — произвольные коэффициенты. Введем скобки Пуас­сона

V)l = 6l^e₈6(a-a'), (2.12)

{х* (а), р_ц («О}, = б^б (а - а'). (2.13)

Если теперь исследовать зависимость связей от времени, вычисляя скобки Пуассона Н и /?^ар, то мы найдем две вторич­ ные связи:

Цк )=0. (2.14)

у (2.15)

Полный гамильтониан теперь содержит сумму всех связей. Следующий шаг—проверка алгебры связей:

= 0, (2.16)

(«0. Ф, М) = Т

т (2Л8>

о), ^₂ (о')} = i- [^ (<т) + ф₂ (а')] д_о6 (а - а'). (2.

22 Глава 2

Алгебра оказывается замкнутой, следовательно, все связи первого класса. Квантование теперь можно провести непосред­ ственно, полагая {Л, В} -» (i/h) [Л, В].

На этой стадии существуют два альтернативных подхода к изучению квантовой теории. Первый подход — ковариантное квантование, при котором выбирается ортогональная калиб­ровка

gap = Пар- (2.20)

Эта калибровка позволяет исключить не все условия связи, а лишь ^^аР. В этом случае гамильтониан имеет вид (для про­стоты положим Т== 1/я)

я

р» (о) =4" **<*)• (2-22)

Уравнения движения имеют вид

_jc"»i = O. (2.23)

Мы наложили такие граничные условия, чтобы при выводе уравнений движения не возникали поверхностные члены. Тогда для граничных условий существует две возможности.

1 x'v(g — 0)= лЛ*(<у = п) = 0 в случае открытых струн.

2. х^ — периодическая функция от а в случае замкнутых струн.

Ковариантное квантование приводит к необходимости ис­пользования гильбертова пространства состояний с индефинит­ной метрикой, которая возникает из коммутатора

[*" (а, х), p_v (а', т)] = <6 (а - а'). (2.24)

Решение уравнений движения в случае открытых струн да­ется рядом Фурье:

_а , т) = xv- + р^х + ( jT -^ cos na e-^inT. (2.25)

п Ф 0

Канонические коммутационные соотношения (2.24) приво­дят к виду

К. о;]= тв_и+11,_отГ. (²-²⁶)

т. е. мы имеем бесконечный набор гармонических осцилляторов, у которых временная компонента операторов рождения

^_n (я > 0) генерирует состояния с отрицательной нормой.

Бозонньге струны 23-

Оставшиеся условия связи (2.14), (2.15) должны накладывать­ ся теперь на состояния в гильбертовом пространстве. Перепи­ шем эти связи в виде

Ф_г (2.27)

Подставляя в (2.27) решения (2.25), находим

#_± = #(т±а), (2.28)

где

( £ \ (2.29)

П=~ оо

Два условия связи (2.28), наложенные при т —О, пол­ностью определяются одной функцией ф(сг), причем —л а ^ я. Рассмотрим фурье-моды функции ф(сг)

оо

¹ ^ (2.30)

— л

в частности

В квантовом случае L_n становятся операторами, и необхо­димо нормальное упорядочение, чтобы L_n были хорошо опре­делены. Тогда эти операторы удовлетворяют алгебре Вирасоро (центральный заряд которой впервые был получен Вейсом [36])

[L_nt L_m] = (n — tn)L_n+m + -^(n³ — n)d_{n + mi0}. (2.32)

Вакуумное состояние в гильбертовом пространстве определяет ся следующим образом:

= 0, п>0.

Связи накладываются так же, как при квантовании КЭД по методу Гупты — Блейлера. А именно потребуем

(физ|/.„|физ')^0, пфО, (2.33)

т. е.

£„|физ)=0, п > 0.

Для п = 0 потребуем

(L_o— 1) |физ> = 0. (2.34)

Ниже мы рассмотрим это условие более подробно.

24 Глава 2

Условия (2.33) и (2.34) на физические состояния, как было показано Вирасоро [4], совпадают с условиями, которым удов­летворяют физические состояния в модели Венециано.

Альтернативный подход состоит в том, чтобы проводить квантование в калибровке светового конуса [10]. В этом слу­чае калибровочные симметрии фиксируются полностью. Введем изотропные и поперечные координаты:

$ x\ £=1, ..., d~2_t (2.35)

и наложим калибровку (2.20), а также условия

х⁺ (а, т) = *⁺+р⁺т, (2.36)

а

(2.37)

Условия калибровки (2.36) и (2.37) означают, что все точки •струны находятся в одном и том же "конусном" времени х⁺ и имеют одно и то же значение проекции импульса на времен­ное направление р⁺.

Теперь условия связи (2.14) и (2.15) могут быть полностью разрешены:

¹ '•"' ^ (2.38а)

Р

Эти уравнения можно проинтегрировать, тогда координата х~((У, т) будет полностью выражаться через поперечные коор­динаты х^г(о, т), а также р+ и постоянную интегрирования хг. Уравнения движения теперь имеют вид

_xt _ _X'^fi — 0. (2.39)

Динамика струны в калибровке светового конуса может быть полностью описана действием

5 = —тг~ \ do \ ёхг\^а^д_ах^{д_лхК (2.40)

о

Это действие, хотя и не является лоренц-ковариантным, должно обладать пуанкаре-инвариантностью. В данном случае преобразования группы Пуанкаре реализованы на координа­тах xⁱ нелинейно. Прежде чем выписывать эти преобразования,

Бозонные струны 25

рассмотрим динамическое содержание действия (2.40). Плот­ность канонически сопряженного момента

У (а, т) = ^(<т, т). (2.41)

Как и прежде, возможны два выбора граничных условий: 1. х^/((а = 0, л) = 0; это случай открытых струн, и решение уравнений движения имеет вид

х¹ (<т, т) = х^{ + рЧ + i У — < cosnde~-^inx. (2.42)

п ф 0

2. A"¹'—периодическая функция от а; это случай замкнутых струн с решением в виде

х¹ (а, т) = х¹ + рЧ + 4 J] 4" «*~^{2/я (T}"^aJ + «^-^2f^+^). (2.43)

И #: 0

Квантование теории осуществляется непосредственно:

[*'■(*, т), р' ((/, т)] = 1Ь^ЦЬ (а - (/). (2.44)

Параметры аЦй^) теперь становятся операторами, удовлет­воряющими следующим коммутационным соотношениям:

К. «Ц=«СД (2-45)

К, й'_т] = «б„_+т>06". (2.46)

Мы снова получаем бесконечный набор гармонических ос­цилляторов. Гильбертово пространство состояний строится на основе вакуума |0>, который подчиняется условиям

— О, п > О, (2.47а)

= 0, п>0. (2.476)

Очевидно, гильбертово пространство содержит только состоя­ния с положительной нормой.

Выражения для генераторов алгебры Пуанкаре получаются из ковариантных выражений подстановкой в них калибровоч­ных условий (2.36), (2.37), а также решения уравнения (2.38), и имеют вид [10]

р⁺ = _р+₉ (2.48а)

я

р¹ = [ р¹ (a) do, (2.486)

о

26 Глава 2

я я

р- = — [ dax~ = —V [ ^dG Wp^i? + *''*] » (2.48в)

о о

n

:U _ [ _{da (x}i_ni _ _xt_ni\ (2.49a)

О

я

j⁺ⁱ = J rf_a (_x-_p' _ _л:^+)_> (2.496)

о

, у ⁺ ~ = х⁺р"—х"р⁺, (2.49в)

/-' = J da [x- (a) p¹' (a) - х' (о) р~ (о)], (2.49г)

О

где х~(а) — решение уравнения (2.386), а р~(о) — подынтеграль­ное выражение в (2.48в).

На квантовом уровне произведения операторов в выраже­ниях (2.48), (2.49) необходимо симметризировать, чтобы по­лучить эрмитовы генераторы. Следствие такой симметризации мсжет сказаться только на вычислении коммутатора [/*-, /-'-] =0, так как оператор j^l~ — кубичный по полям. Явные вы­числения показывают, что это коммутационное соотношение сохраняется на квантовом уровне только при d = 26 [10] (кри­тическая размерность).

Подставляя решение (2.42) в выражение для р~ (2.48в), получаем

Р¹'

v 7§^eL"°"' ⁽²'^50>

откуда

Р²= -2

п — 1

Введем размерную постоянную о! — -*- Т — наклон траекто­рии Редже. Тогда формула для квадрата массы с правильной размерностью будет иметь вид

оо

_a'_m2— V _ni _ai /9 em

Следовательно, квадрат массы получается суммированием

'бесконечного ряда "энергий гармонических осцилляторов"

[15]. В квантовом случае каждый осциллятор дает вклад в

энергию за счет флуктуации вакуума (благодаря вышеупомя-

Бозонные струны 27

нутой симметризации). Тогда низший массовый уровень опре­деляется формулой

^d~²^n. (2.53)

Очевидно, эта сумма расходится и ее нужно регуляризо-вать. Заметим, что этот ряд похож на ряд, которым опреде­ляется ^-функция Римана [37]:

оо

£(«)=£ n~^s, Res> 1. (2.54)

Эта функция обладает тем свойством, что может быть продол­ жена аналитически до точки s = —1, причем

£(-!) = —jj- <²-⁵⁵)

Используя это равенство, бесконечную сумму (2.53) можно регуляризовать, и она принимает значение

«Ч = - Цг ■ (2-56)

Следовательно, в выражении для р~ необходимо учитывать этот вклад. Так как следующее состояние, лежащее на траек­тории, является векторным состоянием с d—2 степенями сво­боды и поэтому должно быть безмассовым, мы снова находим, что d = 26. Этот факт объясняет также появление (—1) в усло­вии (2.34).

Существует также и более непосредственный способ [15] получения этого результата добавлением контрчленов к дей­ствию (2.40), что равносильно перенормировке скорости света (которая, конечно, является еще одним параметром теории). Замечательно то, что именно на квантовом уровне мы полу­чаем требование конечности скорости света.

Наиболее важное следствие формулы (2.56) заключается в том, что низшим массивным состоянием в теории является тахион. Фактически это означает, что теория взаимодействий, построенная на основе данной теории бозонной струны, не имеет смысла. Кроме того, поскольку тахион является скаляр­ным состоянием, не содержащим возбуждений более высоких мод, на наш взгляд кажется маловероятным, что существует непротиворечивое усечение, приводящее к теории без тахиона.

-28 Глава 2

Применим теперь наши рассуждения к замкнутым струнам. Используя решение в виде (2.43), получаем

оо

И в этом секторе мы также получаем тахион. Для замкнутых струн мы получаем еще одно ограничение. Рассмотрим снова выражение (2.386). Интегрируя его в пределах от 0 до сг, по­лучим выражение для х~(о). Хотя х~(а) зависит от х\ мы должны считать, что хг(о) является одной из компонент и, следовательно, должна быть периодической. Тогда

я я

_{[ dox'~ = 0 = Ар [ daxlxri = -^{N-N), (2.58)}

_{J р р}

т. е. на классическом уровне Л^ = N, а на квантовом уровне мы накладываем это условие на физические состояния.

Алгебра Пуанкаре, задаваемая генераторами (2.48), (2.49), а также условием связи (2.386), содержит всю информацию о бозонных струнах. Этот факт является типичным для калиб­ровки светового конуса. Построив нелинейное представление алгебры Пуанкаре, мы знаем всю динамику системы, так как гамильтониан р- является одним из генераторов. К сожале­нию, до сих пор не ясно, как непосредственно построить гене­раторы дедуктивным путем вместо того, чтобы выводить их из ковариантной теории.

Рассматривая динамику свободной бозонной струны, мы на­шли, что в такой теории гораздо больше ограничений, чем в со­ответствующей теории точечных частиц. Несомненно, что это является весьма желательным свойством теории, так как опыт, который мы извлекли из современных теорий калибровочных полей, описывающих точечные частицы, состоит в том, что целые классы таких теорий, по-видимому, являются теоретически со­гласованными и только эксперименты могут указать, какие из теорий имеют отношение к действительности. Теории струн по­зволяют надеяться на то, что только одна модель будет после­довательной, эта модель тогда и будет описывать действитель­ность!