- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
Многие понятия, которые часто используются в теории струн, появляются уже в более простой бозонной модели. Поэтому мы прежде всего рассмотрим эту модель.
12.1. Принцип действия
12.1.1. Действие Намбу — Гото
Свободная релятивистская частица движется в пространстве-времени так, что ее мировая линия является времениподобной, а также имеет максимальную собственную длину. Соответствующее действие имеет вид
(12.1.1.1)
где m — масса, a ds — элемент длины вдоль мировой линии. Одним из основных свойств действия (12.1.1.1) является его репа-раметризационная инвариантность.
Струна представляет собой одномерный протяженный объект. Поэтому траекторией струны является двумерная поверхность в пространстве-времени. Обобщая естественным образом случай релятивистской частицы, мы постулируем, что свободная струна (со свободными концами, если она открытая) описывается поверхностью со следующими свойствами:
Поверхность является времениподобной, т. е. всюду на поверхности (за исключением, может быть, граничных точек) можно выбрать два направления: времениподобное и простран- ственноподобное.
Поверхность имеет экстремальную площадь, т. е. являет ся "экстремальной поверхностью".
Удобно использовать параметрическое описание струны. Это, помимо прочего, позволяет иметь явно ковариантный формализм.
Параметрическое представление мировой поверхности струны имеет вид
А() = 0, 1 rf—I, а = 0, 1. (12.1.1.2)
Струна Намбу — Гото: классический анализ 99
Мы предполагаем, что ха = (т, а) задают хорошую параметризацию в том смысле, что касательные векторы дХА/дх и дХА/да всюду отличны от нуля и линейно независимы. Кроме того, мы примем, что вектор дХА/дх является времениподобным (или изотропным), а вектор дХА/да является пространственноподоб-ным, причем
К (12.1.1.3а)
дХл дХв
>, (12.1.1.36)
где сигнатура выбрана в виде г\ав — {—, +, +, ... +).
Данное вложение индуцирует метрику на поверхности ХА (т, 0), заданную явно в виде
а — дХ дХ ъ„„ П2 1 1 А)
В качестве метрики фонового с/-мерного пространства, в котором осуществляется вложение, мы возьмем плоскую метрику Цав- Не можно искривить; в классической теории это не приведет к существенным изменениям. Но в квантовой теории появление кривизны приводит к значительным усложнениям; в общем случае произвольного фона такая задача до сих пор полностью не решена. Поэтому мы выбрали плоскую метрику. Некоторые последствия кривизны, которые влияют на определение критической размерности, кратко рассмотрены ниже.
Площадь поверхности, которую заметает струна, определяется выражением
'~1^> (12.1.1.5)
где Wg — детерминант матрицы gap, который отрицателен, так как ga$ имеет сигнатуру (—, +).
Действие свободной струны пропорционально площади (12.1.1.5) и, следовательно, задано в виде1)
л(откр.струна) 2л (замкн. струна)
\ vTg. (12.1.1.6)
О
Для замкнутых струн выражение (12.1.1.6) нужно дополнить периодическими граничными условиями:
ХА(ту 0) = ХА(т, 2л) (замкнутые струны). (12.1.1.7)
*) Выбор верхней и нижней границ интервала а зависит от соглашения. Мы придерживаемся здесь первоначальных обозначений.
100 Глава 12
(В этом случае интеграл по а фактически можно брать по любому интервалу длины 2я.)
Выражение (12.1.1.6) есть действие Намбу — Гото [1,2]. Постоянная а' имеет размерность квадрата длины в единицах %. Поэтому в теории появляется масштаб для массы (а')~1/2. Когда дуальные модели использовались для описания адронного мира, эта масса выбиралась порядка 1 ГэВ. После коренного перелома в развитии и перспективах, связанного с работой Шерка и Шварца [3], а' берется порядка массы Планка (~ 1019 ГэВ), так как считается, что теория струн является единой теорией всех взаимодействий.
Замечание. Действие частицы можно обобщать и дальше на высшие измерения, т. е. можно рассматривать протяженные объекты больших размерностей (например, «мембраны»), для которых действие пропорционально их пространственно-временному объему. О квантовой теории релятивистских мембран известно совсем немного. Неясно даже, является ли она последовательной теорией. Поэтому мембраны не вызвали большого интереса (тем не менее см. работу [4], где приведен ряд интересных достижений).
Упражнения
1. Из действия Намбу—Гото выведите явно уравнения движения. Покажите, что они записываются в виде
где □ — ковариантный лапласиан, построенный по индуцированной метрике ga$, которая задана выражением (12.1.1.4).
2а. Покажите, что проекции уравнений движения на касательные векторы ХА, а в действительности являются тождествами, Х,а[]^л = ^ так чт0 независимыми являются только d — 2 уравнений. Это выражение является следствием репараметри-зационной инвариантности действия.
26. Пусть 1*А), Д = 1, 2, . .., d — 2, — набор d — 2 ортонор-мированных векторов, перпендикулярных мировому листу:
«Вторая фундаментальная форма &(д)ар» поверхности ХА = = Хл (ха) определяется уравнением
, а£<Д), В — "<Д> а Л. Э т- Н<{д) 5(2)
(см. [5], разд. 47). При параллельном переносе вектора нормали gj1 по отношению к rf-мерной фоновой геометрии этот
Струна Намбу — Гото: классический анализ 101
вектор поворачивается. Величина этого поворота параметризуется ЦД)ар и ^Д)<2> и является мерой искривления двумерной поверхности ХА = ХА (ха) в фоновом пространстве.
Если d—2=1, последний член в приведенном выше выражении отсутствует. В общем случае м-(Д)(2) определяет инфини-тезимальные SO(d—2)-вращения. При замене нормальных
векторов |Д> (которые определены с точностью до 50(rf —2)-
вращения), Й(Д)ар преобразуется однородно, как SO (d — 2)-вектор, а |Д(Д)(2) преобразуется неоднородно [5]. Покажите, что
О %А Y
где символ ";'' обозначает ковариантную производную по метрике ga$. Следовательно, Й(д>ар— симметричный тензор второго ранга при любом значении А.
2в. Средняя кривизна й(д> определяется по формуле ЦД) =
= Цл)ав£аР* Выведите из этого, что струнные уравнения движения полностью эквивалентны уравнению
т. е. условию нулевой средней кривизны для любого направления вдоль нормалей.
3. Повторите упражнения 1 и 2 для случая искривленной фоновой метрики г\дв(Хс). Указание. Добавьте просто символы Кристоффеля Глвс в уравнения движения и другие соотношения, чтобы удовлетворялось требование общей ковариантности по отношению к фоновой геометрии. ХА,а преобразуется как ^-мерный вектор и 2-мерный ковектор (см. [5], разд. 52).