12.5.2. Калибровка светового конуса

Конформная калибровка не полностью фиксирует систему ко­ординат. Как мы уже отмечали, остаточной калибровочной группой является конформная группа. Чтобы окончательно фиксировать симметрию, требуется наложить дополнительные условия. Например, можно дать определение "временной коор­динате" т и тем самым фиксировать ее (так, чтобы это не про­тиворечило условию конформной калибровки).

После того как т фиксировано, остаются только конформ­ные преобразования вида

т' = т, (12.5.2.1)

о'=±а + Ь, (12.5.2.2)

где b—произвольная постоянная. Если, кроме того, потребо­вать, чтобы конформные преобразования не нарушали про­странственной ориентации, то остаются только преобразования (12.5.2.2) со знаком плюс.

В случае открытой струны новая координата <т' также долж­на принимать значения от 0 до л; (преобразования должны быть тождественны в граничных точках). Следовательно, оста­точные преобразования сводятся к тождественным.

В случае замкнутой струны можно лишь потребовать, чтобы не нарушалась периодичность по о' с периодом 2л. Ясно, что преобразования (12.5.2.2) удовлетворяют этому требованию не­зависимо от того, какое значение принимает постоянная Ь. Следовательно, наложение конформной калибровки и фикса­ция т в случае замкнутых струн не фиксирует полностью си­стему координат. Остается возможность преобразования нуле­вой моды (постоянной составляющей) пространственной коор­динаты:

т' = т, (12.5.2.3)

о* = а + Ъ. (12.5.2.4)

В калибровке светового конуса т выбирается пропорцио­нальным Х+:

, (12.5.2.5)

Струна Намбу — Гото: классический анализ 139

где

X* = -—- (*° ± Х*-^х) (12.5.2.6)

являются изотропными координатами в пространстве Минков-ского. Причина, по которой условие (12.5.2.5) является столь удобным, заключается в следующем: в координатах светового конуса метрика плоского пространства имеет вид

&= —2dX⁺ dX~ + Z (dX'f, i== 1, .. ., d - 2, (12.5.2.7)

и является линейной по

Условия (12.5.1.1) и (12.5.2.5) определяют калибровку све­тового конуса.

Чтобы установить, является ли условие (12.5.2.5) допусти­мой параметризацией, необходимо проверить следующие утвер­ждения: 1) Х⁺ является временной координатой, совместной с конформной калибровкой, и 2) гиперплоскости Х⁺= const пе­ресекают мировую поверхность струны по пространственнопо-добным линиям. Доказательства этих утверждений приведены в следующем разделе, где также показано, что для траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения, не воз­никает никаких сложностей.

Найдем сначала постоянную р в уравнении (12.5.2.5). Урав­нения движения для X дают

Х⁺ = 23ta'N&⁺ + JV¹ (Х⁺)', (12.5.2.8а)

^ (12.5.2.86)

Так как конформная калибровка эквивалентна соотношениям N = 1 и JV¹=O, условие (12.5.2.5) вместе с уравнением (12.5.2.8а) означает, что &⁺(о) в разложении не имеет ненуле­вых мод:

$>+ (о) = р^/к (открытая струна) (12.5.2.9а)

или

(замкнутая струна). (12.5.2.96)

Из соотношения (12.5.2.8а) находим р:

х — Х⁺/2р⁺а' (открытая струна) (12.5.2.10а)

или

х = Х⁺/р⁺а' (замкнутая струна). (12.5.2.106)

Если мы, наоборот, предполагаем, что соотношения (12.5.2.9) и (12.5.2.10) выполнены, то из уравнения (12.5,2.8а)

140 Глава 12

получаем, что N = 1 (<Р+ = 0, как легко получить, интегрируя уравнение (12.5.2.86) по <т). Кроме того, из уравнения (12.5.2.86) находим, что Л/^г*^/ = 0 (при условии, что /?⁺^0), по­этому iV¹ является функцией только т. В случае открытой стру­ны эта функция тождественно равна нулю вследствие гранич­ных условий. Система координат должна быть конформной, и соотношения (12.5.2.9) и (12.5.2.10) можно принять в качестве определения калибровки светового конуса.

В случае замкнутой струны iV¹ (т) не определено, поэтому условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) оказываются более слабыми, чем исходные условия калибровки светового конуса. Тем не ме­нее из-за того, что эти условия оказываются более удобными — они выражаются непосредственно в терминах канонических пе­ременных,— мы будем также использовать их в качестве коор­динатных условий для замкнутой струны и будем называть их далее условиями калибровки светового конуса. Важно также понять, что условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) все еще допускают произвольные, зависящие от времени координатные преобразо­вания вида

т' = т, о' = о + [(т) (12.5.2.11)

(зависящие от времени сдвиги нулевой моды). Эта остаточная калибровочная инвариантность играет важную роль в кванто­вой теории. Соответствующее условие связи означает, что пер­вое возбужденное состояние в спектре имеет спин 2.

Упражнение

а. Пусть (х, о)—конформные ("изотермические") координа­ ты. Покажите, что уравнение д²т/д%²— д²%/до² = 0 является необходимым условием того, чтобы т'(т,а) была временной координатой некоторой новой конформной системы коор­ динат.

б. Зная координату т/(т,<т), удовлетворяющую условию (а),, покажите геометрически, как построить новую конформную си­ стему координат (т', а').

в. Пусть % —решение уравнения (а); тогда _т'=³/2[/^:(т + + ®)-h g(^ — o)] и <т' = ³/2[f(T + a)— g(% — а)]. Покажите, что система координат (т/, а') является допустимой в том и только в том случае, когда функции fug обратимы.

г. Иногда вместо условия (12.5.2.10а) выбирают т = Х+. Ка­ кой интервал пробегает а при таком выборе? Замечание. В этом случае соотношение (12.5.2.9а) должно иметь вид ()

= р+/(интервал а), чтобы иметь \ <Р⁺

Струна Намбу—Гото: классический анализ 141