12.1.2. Действие в квадратичной форме

Действие S[^⁴(x^a)] имеет один недостаток: оно не квадратично по полям. Это вызывает серьезные трудности при квантовании струны методом интеграла по траекториям, так как в обыч­ной лагранжевой форме интеграл по траекториям определен только для квадратичных действий.

Можно улучшить состояние дел, если ввести вспомогатель­ные поля, т. е. поля без распространяющихся степеней свободы, удовлетворяющие алгебраическим (в противоположность диф­ференциальным) уравнениям. Цель их в данном случае со­стоит в том, чтобы придать действию квадратичную форму.

Оказывается, что необходимые вспомогательные поля про-лорциональны метрическому тензору g_a& двумерной поверхности,

102 Глава 12

которую заметает струна. Таким образом, квадратичная форма действия задана выражением

\ (12.1.2.1)

Ниже мы увидим, что это действие (здесь Х^А и у_а$ варьиру­ются независимо) эквивалентно старому действию. Прежде чем перейти к доказательству, мы немного отвлечемся и исследуем эту новую интерпретацию действия, которая имеет больше сходства с теорией поля.

Выражение (12.1.2.1) можно рассматривать как действие, описывающее d безмассовых скалярных полей X*¹ в двух изме­рениях (одно поле Х° имеет неправильный знак перед кинети­ческим членом), распространяющихся на искривленном фоне Yap. Более того, так как в выражении (12.1.2.1) компоненты метрики yap тоже нужно варьировать, мы должны смотреть на "гравитационное поле" у_а$ не как на заданное фоновое поле, а скорее как на некоторое приспособляемое поле, взаимодей­ствующее со скалярными полями.

Это наводит на мысль, что, может быть, к выражению (12.1.2.1) нужно добавить кинетический член для Yap, т. е. дей­ствие Эйнштейна — Гильберта, а также космологический член. Но действие Гильберта в двух измерениях оказывается триви­альным (вариация лагранжиана R^—y является полной ди­вергенцией), в то время как космологический член приводит к противоречиям, так как он нарушает вейлевскую инвариант­ность. Поэтому действие (12.1.2.1) является вполне удовлетво­рительным в том виде, в каком оно записано, даже в свете но­вой интерпретации.

Что новое действие (12.1.2.1) эквивалентно предыдущему, можно показать следующим образом. Уравнения движения, по­лученные вариацией действия (12.1.2.1) по отношению к мет­рике Yafl, имеют вид

p^ 4-V=YY^aP = 0, (12.1.2.2)

где мы на время добавили космологический член, чтобы пока­зать, что он должен быть равен нулю, и Т^а^(Х) — тензор энер­гии-импульса d скалярных полей для двух измерений:

Т_ч W - —55?- [4" YapY"⁰*\*а,с - X^A_aX_Ai J. (12.1.2.3)

В двух измерениях безмассовое скалярное поле конформно-инвариантно, откуда следует, что след тензора Г_ар тождествен­но равен нулю. Это можно явно получить из выражения

Струна Намбу — Гото: классический анализ 103

< 12.1.2.3). Взятие следа от выражения (12.1.2.2) дает

поэтому мы положим, что ^~0.

С учетом того, что Я —0, уравнения движения для у<хр озна­чают, что полный тензор энергии-импульса d скалярных по­лей Х^А равен нулю:

ГРО^О (12.1.2.4)

(число независимых уравнений здесь равно двум, а не трем, так как Т_а$ — бесследовый тензор). Общее решение уравнения (12.1.2.4) имеет вид

№^ЛдХ_А, (12.1.2.5)

где р — произвольная функция. Таким образом, вспомогатель­ное поле у_а$ связано конформным преобразованием с индуци­рованной метрикой д_аХ^Ад$Х_А с неопределенным конформным фактором.

Точное значение конформного фактора в действительности несущественно вследствие вейлевской инвариантности, т. е. ин­вариантности действия (12.1.2.1) при вейлевских масштабных преобразованиях:

² (12.1.2.6а)

(12.1.2.66)

Следовательно, мы можем положить у«з = ga$- Если исключить из действия (12.1.2.1) вспомогательное поле у«р подстановкой в действие решения его уравнений движения, а именно (12.1.2.5), то мы получим правильное исходное действие Нам-■бу—Гото. В этом смысле теории, основанные на действиях (12.1.1.6) и (12.1.2.1), эквивалентны, так как произвольное раз­витие во времени полей Х^А (х^а), даже не удовлетворяющих условию массовой поверхности, они учитывают с одним и тем же весом. (Что касается вспомогательного поля, то оно обяза­тельно должно удовлетворять условию массовой поверхности (12.1.2.5), иначе сравнение будет невозможным.)

Замечания, а. Чтобы доказать эквивалентность теорий, осно­ванных на действиях (12.1.1.6) и (12.1.2.1), недостаточно лишь проверить, что соответствующие классические уравнения дви­жения имеют одинаковые решения. Необходимо также пока­зать, как это и было сделано выше, что совпадают сами дей­ствия, в том смысле, что действие (12.1.2.1), в котором вспомо­гательное поле исключено с помощью его уравнения движения, оказывается действием (12.1.1.6). Если бы этого не было, то скобки Пуассона полей X, а, следовательно, их коммутаторы

104 Глава 12

в квантовом случае были различными для разных теорий, не­смотря на то, что классические уравнения движения и в том, и в другом случае совпадают. Это имеет непосредственное от­ношение к обратной задаче вариационного исчисления (см., например, работу [6], а также работы, которые там цити­руются).

б. На квантовом уровне исключение вспомогательного поля Yap осуществляется не так просто, как в классической теории. Только при cf = 26 восстанавливается эквивалентность действий (12.1.2.1) и (12.1.1.6) [7а].

Упражнения

1а. Получите действие в квадратичной форме для свобод­ной частицы исходя нз действия —т \ ds. Покажите, что необ­ходимо включить "космологический член", и найдите его связь с массой т.

16. Из действия —m\ds выведите действие в гамильтоно-

вой форме S#.

1в. Покажите, что если проинтегрировать (в S#) по кано­ническому импульсу рА_У сопряженному Х^А_У то мы получим дей­ствие в квадратичном виде. Покажите, что лагранжев множи­тель N, соответствующий гамильтонову условию "массовой поверхности" р² + пг² ж 0, связан с метрикой goo на мировой линии частицы.

1г. Покажите, что и квадратичное действие, и Sh правильно описывают безмассовый случай в пределе m = 0.

2. Выведите квадратичное действие для релятивистской мембраны. Покажите, что в этом случае также необходимы космологический член (вейлевская инвариантность отсутствует).

12.1.3. Интерпретация действия в терминах в-модели

Действие (12.1.2.1) относится одновременно к двум различным пространствам: двумерному пространству с координатами х^а = ss= (т, о) и d-мерному пространству Минковского M^d, в котором координатами являются скалярные поля. Последнее является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца M^d = Poincare/Lorentz.

Произвольное поле Х^А(т, о) задает отображение из одного пространства в другое. Те отображения, при которых действие (12.1.2.1) является экстремальным, называются в математиче­ской литературе "гармоническими отображениями", а выраже­ние (12.1.2.1) — "функционалом энергии". В физической литера-

Струна Намбу — Гото: классический анализ 105

туре такая модель называется "а-моделью". (Значение гармо­нических отображений для физики обсуждалось Мизнером [76], а также в цитированной им литературе.)

Интерпретация действия в терминах а-модели слабо отра­жает геометрическое значение действия Намбу — Гото (площадь поверхности), а больше внимания сосредотачивает на теоретико-полевых аспектах теории. Эта иитерпретация окажется особенно полезной при обсуждении струн на искривленном фоне, а также суп ер струн.