- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
Преобразования Пуанкаре в своей исходной линейной форме выводят систему из калибровки светового конуса. Чтобы калибровочные условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) сохранялись, необходимо также провести калибровочное преобразование.
Струна Намбу — Гото: классический анализ 149
Легко найти "компенсирующее" репараметризационное преобразование, если заметить, что правильное преобразование (преобразование Пуанкаре-!-калибровочное преобразование) задается теми же генераторами, что и прежде, но на этот раз посредством скобок Дирака.
В самом деле, правильное преобразование должно отличаться от исходного преобразования Пуанкаре на репараметриза-цию, так что 6%п — 6% = 0 (условия Ьфп — 6</> = 0 выполняются автоматически, поскольку генераторы Пуанкаре являются ка-либровочно-инвариантными). Но это как раз и есть те условия, выполнение которых обеспечивается использованием скобок Дирака, поскольку [%п, все, что угодно] DB = [%, вес что угодно] db = О1). Тот факт, что % зависит явно от т, здесь не существен, так как генераторы Пуанкаре определяют внутренние симметрии, не включающие т.
Поэтому в калибровке светового конуса генераторы Пуанкаре по-прежнему заданы выражениями (12.4.1.9), т. е. в независимых переменных имеем
Р+=р+, Pl = p\ P^ = p" = Ljr/2a> + , (12.5.6.1) '+, Mi+ = —-^р+Х1 (12.5.6.2а)
+ i£ i(a<n*ain-tfnWn), (12.5.6.26)
tr ч j a*tLU , ftr „l
JP{
--У
пп
LlZ.-+aan
.
(12.5.6.2b)
/г>0
Заметим, что эти генераторы не являются линейными или квадратичными по независимым переменным.
При получении выражений (12.5.6.2) мы положили равными нулю слагаемые с явной зависимостью от времени, которая входит через Х+. Это достигается путем соответствующего канонического преобразования (индуцируемого движением струны). Такое упрощение не меняет алгебры генераторов, заданной скобками Дирака.
Упражнения
1. Используя скобки Дирака, найдите явный вид преобразований, которые генерируются системой (12.5.6.1), (12.5.6.2).
4) Мы видим также, что скобки Дирака [F, генераторы Пуанкаре]^ отличаются от скобок Пуассона [F, генераторы Пуанкаре]рв на калибровочное преобразование, так как генераторы Пуанкаре коммутируют с условиями Вирасоро (а также вследствие (12.5.4.5)).
150 Глава 12
В полученных преобразованиях выделите обычное преобразование Пуанкаре и репараметризацию.
2. Проверьте явными вычислениями, что система (12.5.6.1), (12.5.6.2) образует замкнутую алгебру по отношению к скобкам Дирака — алгебру Пуанкаре.
12.5.7. Особенности замкнутой струны
Теория замкнутой струны формулируется в калибровке светового конуса аналогично тому, как это было сделано в случае открытой струны. Единственное отличие состоит в том, что калибровочные условия
(12.5.7.1)
эквивалентны условиям
(12.5.7.2)
и уже не фиксируют полностью калибровку. Имеется одна остаточная калибровочная симметрия (сдвиги нулевой моды вдоль о), и этой симметрии соответствует одно условие связи — нулевая мода генератора а-репараметризаций Ж\ должна быть равна нулю.
Таким образом, оказывается, что "независимые" переменные pif XI, и~, р+ и с1п, с1п должны подчиняться условию
Llv-Zo=O (12.5.7.3)
Эти переменные, как и прежде, удовлетворяют условиям
[Ц, Р;1=б;:, [р+,«0-] = 1, (12.5.7.4а)
К #J = - »"*»,'= К д'Я (12.5.7.46)
(остальные скобки равны нулю).
Величины р~ и с~, с~ по-прежнему задаются выражениями
т tr I 7~tr
р- = il±fl, (12.5.7.5)
Струма Намбу — Гото: классический анализ
151
Генераторы Пуанкаре записываются в виде
п>0
ар
(12.5.7.7)
(12.5.7.8a) )], (12.5.7.86)
Мг
|
|
rtr |
+ |
Itr |
0 |
|
a |
V |
|
|
|
|
|
J |
Ln ■ |
|
|
|
n n |
n
n
-п
п
п>0
Они образуют алгебру Пуанкаре по отношению к скобкам Дирака. Нетривиальный момент заключается в том, что условие связи остаточной симметрии возникает в коммутаторе М!~], точное выражение для которого имеет вид
1~
— ZJr)~O. (12.5.7.9)
Упражнения
Покажите, что связь (12.5.7.3) возникает как условие раз решимости связи ^i(a) —0 по отношению к периодической функции Х~(о) (нулевая мода в X'-(a) отсутствует).
Проверьте выражение для коммутатора (12.5.7.9).