- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
В этой главе мы покажем, что критическая размерность для фермионной струны равна 10. Кроме того, интерсепт равен 1/2 для модели Неве — Шварца и обращается в нуль в случае граничных условий Рамона. Эти критические значения определяются как БРСТ-методом, так и методом световой калибровки. Они совпадают со значениями, получаемыми в рамках ковари-антного подхода, который здесь не рассматривается.
Как правило, мы рассматриваем вычисления только для случая открытой струны, если не оговорено другое.
15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
15.1.1. Фоковское пространство духов
Кроме фермионных духов, встречавшихся выше, духовые моды теперь содержат коммутирующие степени свободы, которые мы обозначим символами qs и ns- Так как они ассоциируются с фер-мионными связями Gs=0t то нумеруются полуцелыми числами. Они удовлетворяют соотношениям
Все остальные коммутаторы равны нулю. Можно определить
У 2 Я? = Qs + "Ь> -уf2 vs = qs — ms. (15.1.1.3)
Эти новые переменные удовлетворяют осцилляторным коммутационным соотношениям. Отметим, что операторы v5 рождают из вакуума состояния с отрицательной нормой, а нульмодовые коммутирующие духи отсутствуют, поскольку нет нульмодовых: фермионных связей.
220 Глава 15
15.1.2. Брст-оператор
Согласно общим правилам, приведенным в работах [30, 31], БРСТ-оператор дается выражением
Q = QS + £ Gr(j_r _ £ 5*_r_s(?y - i £ n_m_srfqs (s - m/2),
r=~~ oo r, s s, m
(15.1.2.1)
где Qe — БРСТ-оператор для бозонной струны.
Нормальное упорядочение этого выражения приводит к выражению
• ^^ К) ' * j j*^ "
(r + m/2) (nr_m4
r>00<т<л
(г
m>0 0<r<m
- 2 S <?;9Л -ilr (n'rqr - qX) Л0- (15.1.2.2)
r>0 r>0
Неоднозначность упорядочения проявляется лишь в члене с т]°. Два возможных способа упорядочения приводят к коэффициентам перед т]0, отличающимся на вещественное с-число, которое поглощается константой с&о.
Упражнение. Проверьте классическую нильпотентность Q, [Q, Я] = 0.
15.1.3. Критическая размерность
Нильпотентность квантового БРСТ-генератора снова не очевидна вследствие неточной коммутативности (или антикоммутативности) квантовых операторов.
Если не считать члена с «о и центрального заряда супералгебры Вирасоро, то ненулевые вклады в Q2 возникают лишь благодаря духам. Эти вклады появляются вследствие того, что антикоммутаторы, аналогичные антикоммутаторам (13.2.4.2), не являются нормально упорядоченными.
Фермионная струна: квантовый анализ 221
В явном виде получаем
/г>0
[(^iJ£) ]?A- (15.1.3.1)
s>0
Если положить Q2=0, то получаем упомянутые выше условия
(15.1.3.2)
Интерсепт все еще положителен, и в спектре присутствуют тахионы.
Упражнение. Проверьте соотношение (15.1.3.1).
Критическая размерность для фермионной струны недавно была вычислена теми же методами, которые использовались в работах [35, 51, 52].
15.1.4. Структура физического подпространства
Теперь мы охарактеризуем все решения уравнения Q|if>>=0. Для определенности состояние |г|з) считается вектором, определяемым выражением
I ♦> = Е А* I ♦*>, (15.1.4.1)
где Xk — функции только нулевых мод:
. О- (15.1.4.2)
а \tyk) — векторы из фоковского пространства. Состояние (15.1.4.1) может быть записано также в виде
(15.1.4.3)
чтобы выделить нулевую моду фермионного духа. БРСТ-оператор (15.1.2.2) имеет вид
Q = (a'p2 + L _ ао) ло __ m^g + q( (15.1.4.4)
где, как и в случае бозонной струны, L — БРСТ-инвариантное расширение оператора номера уровня, которое включает также
духи:
L = Na + Nb + N4 + Nq, (15.1.4.5)
222 Глава 15
где
Na = Z nanAaAn, Nb=Zsb*sAbAs, (15.1.4.6)
П>0 s>0
(15.1.4.7a)
N'=-i Zoт «<?Л - q'rnr) = Ior (H>r- v'rvr). (15.1.4.76)
Оператор М определяется выражением
Е q-rqr; (15.1.4.8)
Q — остающаяся часть БРСТ-генератора, которая не содержит нулевых духовых мод.
Легко проверить выполнение следующих коммутационных соотношений:
[L, M] = 0 = [L, Q] = [M, Q], (15.1.4.9)
и, кроме того, нильпотентность оператора Q в подпространстве о!р2 + L — а0 = 0.
БРСТ-оператор, действуя на состояние (15.1.4.3), дает
Q\a) — M\b)+ [(а'р2 + L - ао)| а) + Q Из этого факта вытекает следующая теорема.
Теорема. Член с i]° в любом состоянии |vp> может быть поглощен состоянием вида £2|х)-
Доказательство. Выберем состояние |х> равным |а') (т. е. г]0 не дает вклада в |х>). гДе \а'У — решение уравнения
-а'П +L-ao)\a')=-\b). (15.1.4.11)
Это уравнение всегда имеет решения, как можно видеть, разлагая |6> так же, как в выражении (15.1.4.1):
\b)=T.KW)\bk). (15.1.4.12)
/с
Здесь можно принять, что фоковский вектор \bk} имеет определенный номер уровня Lk. Поэтому уравнение (15.1.4.11) принимает вид
(_«' □ + Lk - «о) щ = - Кк9 (15.1.4.13)
откуда определяются неизвестные коэффициенты цк(ХА} в разложении | а') — Yuk Vk I ak)- ^сно> что Уравнение (15.1.4.13) всегда можно решить, хотя \ik, а следовательно, |а'> могут расходиться на бесконечности, если |6> имеет ненулевую составляющую вдоль пространства а'р2 + L — ао = 0.
Фермионная струна: квантовый анализ 223
При добавлении Q\%) к \лр) получаем |6) = 0. Это доказывает теорему.
С этого момента мы считаем |Ь)=0, или, что то же самое, допускаем наличие неограниченных функций, таких как |х> в Q|x>, так что состояние \Ь} может быть устранено.
Кроме того, мы регуляризуем плохо определенное скалярное произведение решений уравнения Q|^>=0, содержащее (как отмечалось выше) фактор 6(0)-0, возникающий при интегрировании по массе и по ц°, полагая 6(0)-0 равным единице, чтобы восстановить обычную нормировку клейн-гордоновских решений. Как объяснялось в разд. 13.2.7, до сих пор не существует строгого формализма, который позволял бы избежать трудности, связанной со скалярным произведением.
Допущение неограниченных функций |/> в Q\%) дает большое преимущество, состоящее в устранении удвоения состояний, не имеющего существенного физического значения.
Если \Ь)=0, то физическое условие БРСТ-инвариантности сводится к условиям
Й|а> = 0, (15.1.4.14а)
L-a0)\a)=0. (15.1.4.146)
Нулевая духовая мода устранена, и состояние |а> должно принадлежать массовой поверхности.
Уравнение (15.1.4.14а) анализируется так же, как в бозон-ной модели, — путем использования квартетного механизма Куго и Одзимы. Можно показать, что любое состояние, удовлетворяющее уравнениям (15.1.4.14), имеет вид
| а) = | Р)\ 0)дух + Q| с), (15.1.4.15)
где |0>дУх — вакуум духов (для ненулевых мод), а \Р) — физическое состояние ковариантного подхода:
(Lo - а0) | Р> = О, Ln\P) = 0 (я>0), . (15.1.4.16)
Gr\P) = 0
Фактически состояние |Я> в решении можно считать "поперечным" [51—53]. Это приводит к доказательству теоремы об отсутствии духов, основанному на БРСТ-методах. Рассмотрение "поперечных", т. е. обобщенных состояний ДДФ в модели фер-мионной струны можно найти в работах, цитируемых в [54] (см. также [18,54а]).
Соотношения (15.1.4.15), (15.1.4.16) и предыдущая теорема приводят вместе к следующему выводу.
224 Глава 15
Теорема. Любое состояние, удовлетворяющее уравнению —О, может быть записано в виде
Н) = 1^)|0)дух + Й|х>, (15.1.4.17)
где \Р) — не содержащее духов физическое состояние:
(L0-l/2)|P>-0,
(я>0), (15.1.4.18)
= 0 (г>0).
Заметим, наконец, что если ограничить асимптотическое поведение |х> на бесконечности, то возникнет удвоение. При этом уравнение (15.1.4.17) заменяется уравнением
(15.1.4.19)
Кроме того, в случае замкнутой струны имеет место более сложный вариант удвоения, связанный с нулевой модой Lo — Lo.