- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
Если и право- и левобегущие секторы описываются антипериодическими полями, то спектр замкнутой струны близок к описанному выше.
Основные уравнения представляют собой условие массовой
поверхности
\ NL-\ (15.3.3.1)
и условие "равенства правого и левого"
NR = NL. (15.3.3.2)
1) Следует также подчеркнуть здесь тот факт, что возбужденные состояния струны являются одночастичными состояниями, как можно видеть, например, из того обстоятельства, что спектр масс дискретный. Поэтому между спином и статистикой нет противоречия, несмотря на то, что мы имеем фермионные осцилляторы с векторным индексом. (Статистика имеет дело со многими частицами одновременно.)
Фермиоиная струна: квантовый анализ 233
Первое состояние является основным — тахион:
|0>, а'М2=—2, спин 0. (15.3.3.3)
Оно имеет Gp-четность — 1, где
Z6;4-i£O^ (15.3.3.4)
(Последнее равенство имеет место для состояний на массовой поверхности, удовлетворяющих соотношению (15.3.3.2).) Следующие состояния безмассовые:
bVbV\O)t Gp=l, a'M2 = 0. (15.3.3.5)
Эти состояния могут быть расщеплены на бесследовый симметричный тензор ("гравитон", спин 2), антисимметричный тензор второго ранга и скаляр спина 0.
Остальная часть спектра строится аналогично. Она содержит состояния только с целым спином.
15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
«Лоренцев генератор М1~ задается выражением
2 ^ ^2afn p+
2 V ° 2а'р+ V 2 ^ ^2afn p+
___ T**F ~ F Г* / V* F , рг'
-?- > V2 1== V2—1== • (15.4.1.1)
m>0 ^ P+ 8 ^2Ct P +
В последнем члене этого выражения мы приняли антисимметричное упорядочение для нулевых Го-мод. Любое другое реальное упорядочение должно также приводить к выражению (15.4.1.1).
Коммутатор [М1, М*'] в общем случае не равен нулю. Для него получаем
- т) + "о] КЧ - °*»Ч)
п>0
+
16a'
U)*
^
(ðð
~ Г"Г°)' (16.4.1.2)
234 Глава 15
Требуя обращения в нуль выражения (15.4.1.2), получаем опять критические значения для d и ад
d=10, ao = O. (15.4.1.3)
15.4.2. Спектр Рамона
Новая черта модели Рамона состоит в присутствии фермионных
нулевых мод То. На квантовом уровне они образуют алгебру Клиффорда.
В подходе световой калибровки независимыми являются
только поперечные матрицы Го и выполняется условие
ПП + Т1оН = 2611. (15.4.2.1)
Пространство неприводимого представления этих соотношений 16-мерно (8 независимых Г^-матриц) ]). Элементы этого пространства преобразуются как спиноры при SO(8)-вращениях, генерируемых соответствующими произведениями Fq'tJ1. Именно поэтому все состояния спектра Рамона имеют полуцелый спин.
Хорошо известно, что в пространстве-времени четной размерности дираковское представление группы вращений приводимо. Оно сводится к двум неприводимым представлениям, получаемым при фиксировании определенной ориентации (при наложении вейлевского условия). В нашем случае 16-мерное пространство сводится к двум 8-мерным подпространствам.
Первое состояние в спектре является основным состоянием |0>; оно безмассово и обладает спином 1/2. Поскольку ао = О, тахион не возникает:
\0)и(р\ р+), 16 состояний, 2 спин 1/2, а'Л42 = 0. (15.4.2.2)
Мы явно выделили зависимость основного состояния от всех переменных задачи. Состояние \0}и(р\ р+) есть прямое произведение фоковского вакуума |0>
= ° (15.4.2.3)
]) В световой калибровке изотропные Г-матрицы Г* являются функциями
остальных переменных. Они не могут рассматриваться независимо. Заметим, что скалярное произведение и*и (где и — элемент пространства представления соотношения (15.4.2.1)), очевидно, положительно определено и приводит
к эрмитовости всех Го. В световой калибровке нет состояний с отрицательной нормой.
Фермиоииая струна: квантовый анализ 235
на спинор и, принадлежащий 16-мерному пространству предоставления соотношения (15.4.2.1). Состояние (15.4.2.2) также характеризуется своим d-импульсом р\ р+.
В свете наших замечаний относительно приводимости спи-норного представления основное состояние (15.4.2.2) без всякого усечения фактически содержит два представления группы Пуанкаре со спином 1/2 1).
Следующие состояния получаются при действии на вакуум
осцилляторами aV или П\ имеющими SO (8) -векторный индекс:
aY\0)u{p+, р~\ T'V\0)u(p+, p~) (256 состояний). (15.4.2.4)
Они массивны, а'М2=1, и имеют спин 3/2 и 1/2. Масса для всех состояний снова задается массовой формулой
а'М2 = N - а0 = N. (15.4.2.5)
Высшие состояния рассматриваются аналогично.