13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне

БРСТ-методы могут быть применены также к моделям на ис­кривленном фоне (разд. 13.2.6). В действительности для вы­числения критической размерности БРСТ-методом нужна лишь алгебра генераторов L_n\ их явный вид несуществен.

БРСТ-оператор по-прежнему задается выражением (13.2.4.1), где L_n — соответствующие генераторы Вирасоро искривленных моделей.

Следовательно, аномальный вклад духов остается тем же самым. Единственное изменение в конечном ответе (13.2.4.3) заключается в замене d новым значением центрального за­ряда с. Поэтому нильпотентность Q приводит к условиям

d+ ^"^' —26 для SU(N), (13.2.5.1а)

~N{N-\)\K\ d+ \_K, _{+ N}_₂ =26 для SO(N). (13.2.5.16)

Заметим, что критическая размерность d пространства Мин-ковского, вычисленная из системы уравнений (13.2.5.1), не яв­ляется целой и положительной для всех значений N и К. Сле­довательно, для таких значений N и К соотношения (13.2.5.1) не могут удовлетворяться. Это обстоятельство делает еще бо­лее замечательным полученный выше результат для плоского пространства (13.2.4.4), поскольку аномальные члены можно устранить путем подбора параметра, который должен прини­мать целые положительные значения.

13.2.6. Физическое подпространство

Физическое подпространство определяется соотношением

= 0. (13.2.6.1)

Квантование струны. Набу—Гото 173

Мы хотим охарактеризовать решения этого уравнения. Для этого, следуя работе Като и Огавы [19], мы вводим два новых эрмитовых оператора, играющих важную роль, поскольку они коммутируют с Q. Первый оператор задается выражением

_nAn (A t^,)= (13.2.6.2a)

п ^ о га ^ о

_o(l_An j_n:_a) (13.2.6.26)

а второй

ц_п= (13.2.6.3а)

» (О, + S'nSn + Гпёп + e'Jn)- (13-2.6.36)

Легко проверить, что £ и Л1 БРСТ-инвариантны:

[L, Q] = [M_y Q] = 0 (13.2.6.4)

(например, М ~ [ц°, Q]). Кроме того,

[L, М] = 0. (13.2.6.5)

Особенно интересен оператор L, который сводится в бозон-ном секторе к "оператору уровня" N, задаваемому формулой

N= E па^а_Ап; (13.2.6.6)

ниже он встретится нам снова. Оператор L фактически являет­ся БРСТ-инвариантным расширением оператора N и может быть представлен в виде

(13.2.6.7)

где N^f и N⁸ — операторы уровня для духовых мод f и g соот­ветственно. (Вследствие необычных антикоммутационных соот­ношений [g_ny g*_n] = —1 в выражении N⁸ = — £_я>₀ ^л£я£» ^появ" ляется знак минус.) Оператор L может быть диагонализован и обладает положительными собственными значениями. Оператор импульса р^А также коммутирует с Q, L и М:

[р^А, Q] = [р*, L] = [р^А, М] = 0. (13.2.6.8)

Эти свойства позволяют исследовать решения уравнения (13.2.6.1), диагонализующие одновременно L и р^Л1). Их соб­ственные значения будут обозначаться одинаковыми буквами.

*) Жорданова форма оператора М не является травнальной, н мы не считаем М диагональным.

174 Глава 13

Теорема 1. Решения уравнения (13.2.6.1) при Ьф~а'р являются чисто калибровочными, т. е. могут быть представлены в виде

= Q 1 Х>. (13.2.6.9)

Для доказательства теоремы заметим, что Q может быть представлен в виде

Q = Q + (а'р² + L- оо) т|° - М$>₀, (13.2.6.10)

где оператор Q не содержит нулевых духовых мод у\° и ^V, его явный вид легко получить из выражения (13.2.4.1). Заметим,

что Q, т]° и ^о также коммутируют с L и р^А.

Примем, что ЬФ—а'р² + oto- Представим состояние |f> в виде |ij)> = |a>+ \Ь)ц°, где |а> и |й> — состояния, не содержа­щие нулевых духовых мод. Поскольку afp² ~\- L — ао Ф 0, можно добавить к |г|э> состояние Q|%>, чтобы получить | Ь} = 0. Напри­мер, выберем \%) = —(а'р²-{-L —L — a_o)~^l\b}. При | Ь} = 0 БРСТ-условие (13.2.6.1) на |i];> имеет вид

п\а) = 0, (а'р² + £ — «о) |а> = 0,

откуда следует, что \а) = 0, как и утверждалось.

Эта теорема позволяет рассматривать только случай, когда

а'р² + L — а₀ = 0, (13.2.6.11)

к которому мы теперь и переходим ^!).

Если соотношение (13.2.6.11) выполняется, то оператор Q становится нильпотентным, и БРСТ-уравнение (13.2.6.1) с

[ф> = |а> + [ 6) if (13.2.6.12)

принимает вид

Q |Ь) = 0, Q [а> — ЛЦ6> = 0. (13.2.6.13)

Ниже мы будем рассматривать только состояния, не зависящие от нулевых мод, такие как \а} и \Ь}, если не оговорено про­тивное.

Теорема 2. а. Общее решение уравнения Q|6)=0 может быть записано в виде

|6> = |Р>|0>_дух + 5|с>, (13.2.6.14) где |0>д_ух обозначает вакуум духов (для ненулевых мод), Чп I 0)_дух - Р_п 10>_дух = 0, (13.2.6.15)

⁴) Путем подходящего лоренцева вращения можно получить р¹ = 0 (не равны нулю только р⁺ и р~), но это не столь необходимо здесь. Мы также везде считаем, что р* Ф 0. "Инфракрасный" случай р* = 0 является исклю­чением и легко исследуется, поэтому он здесь не рассматривается.

Квантование струны. Набу—Гото 175

а \Р} — чисто бозонное состояние (существующее в гильберто-

вом пространстве q б. Кроме

осцилляторов). Р} удовлетворяет условиям

= 0, л>0, (13.2.6.16)

= О. (13.2.6.17)

Доказательство, а. См. статью Като и Огавы [19], которые фактически доказали более сильный вариант соотношения (13.2.6.14), в котором утверждается, что состояние |Р> может быть выбрано чисто поперечным; см. разд. 13.4. Идея их дока­зательства намечена в приложении А.

б. Поскольку первая часть теоремы доказана, условие (13.2.6.17) становится очевидным, так как в выражении для \Ь} (13.2.6.14) можно выбрать вектор \с} принадлежащим под­пространству alp² + L — ао = О (ap²-\-L — os₀ коммутирует с

Q). Следовательно, состояние |Р>|0>_дух также аннигилируется оператором a/p² + L— ею, что сразу приводит к уравнению (13.2.6.17), так как для вакуума духов Nf = N_g = 0.

Что касается условий (13.2.6.16), то они просто следуют из

БРСТ-ограничения Q\P) |0>_дух == 0. Последнее сводится к соот­ношению

и, следовательно, эквивалентно соотношению (13.2.6.16), по­скольку все состояния n* | 0) являются независимыми.

Теорема 3. Общее решение уравнения Q[ty)=0 может быть записано в виде

_у 10>_дух л⁰ + Q I _Х>, (13.2.6.18)

где |Pi) и \Р₂} — чисто бозонные состояния, удовлетворяющие условиям

(13.2.6.19а)

(13.2.6.196)

Доказательство. Из теоремы 2 следует, что можно привести коэффициент при ц° в |ф> к требуемому виду (Q | с>)т|⁰ = = Q|x) + члены, которые меняют лишь |а>, где j^>== jc>n°. Но тогда Л1|6>=0, и из соотношений (13.2.6.13) следует

Q|a>=0. Повторное применение теоремы 2 приводит к соот­ношению

176 Глава 13

(здесь Q\c'}=Q\c'}, где \c^f} не имеет составляющей вдоль ц° и уничтожается оператором a^fp²-\-L — cto). Это демонстрирует справедливость решения (13.2.6.18).

Действуя на выражение (13.2.6.18) оператором Q и исполь­зуя условие a^fp² -\~ L — а₀ = 0, получаем условия (13.2.6.19).

Теорема 3 интересна тем, что она полностью соотно­сит БРСТ-физические состояния с физическими состояниями (13.2.6.19) ковариантного подхода, рассмотренного в разд. 13.4. Мы видим, что вследствие вырождения нулевых духовых мод БРСТ-физических состояний оказывается вдвое больше, чем фи­зических состояний в ковариантном подходе¹). Аналогичное явление (удвоение состояний в БРСТ-подходе) недавно было обнаружено в другом контексте [34].

Заметим, наконец, что квантовое "калибровочное условие", требующее состояния уничтожения |i|)> духовыми осциллято­рами, не вполне фиксирует БРСТ-калибровку. Можно еще до­бавлять к |i|>> состояния вида £2|%>, не содержащие духов. Эти состояния являются теми знаменитыми нулевыми состояниями, которые встречаются в ковариантном подходе. Следовательно, их отщепление можно объяснить с помощью БРСТ-симметрии (примеры таких нулевых состояний приведены в упражнениях).

Упражнения

1а. Рассмотрите состояние I #)^*| 0)_дух = [%), где L_n|/?>=0,

п ^ 0. Вычислите Q\%}. Выведите, что состояние L_i |/?>|0>_дух является нулевым.

16. Докажите, что состояние L_i|/?>|0>_Ayxri⁰ уничтожается БРСТ-оператором и имеет нулевые скалярные произведения со всеми остальными физическими состояниями. Это означает, что оно равно Q\%} для некоторого |%>. Указание: такое состоя­ние может быть записано так же, как в выражении (13.2.6.18) с чисто поперечными состояниями |Л> и |Р₂>, которые должны быть равны нулю вследствие свойств скалярного произведения

СОСТОЯНИЯ 1_₁|^>|0>дух'П⁰.

1в. Покажите, что состояние | R) г\\ равно Q|x> для некото­рого |х>.

*) Решение (13.2.6.18) является самым лучшим, которое можно по­строить, если состояния \Р\} и \Р%У поперечны, т.е. |Pi) или \Pz) нельзя устранить калибровкой, поскольку в общем случае эти состояния неортого­нальны всем остальным физическим состояниям и, следовательно, не являют­ся тем, что назвают "нулевыми" состояниями. В разд. 13.2.7 доказано, что в случае открытой струны удвоение (13.2.6.18) в действительности является фиктивным и возникает вследствие неудачного определения линейного про­странства состояний |)

Квантование струны Намбу — Гото 177

1г. Покажите, что состояние I/?°) П* I 0)_д ,_х не удовлетворяет уравнению Q|^>=0, если [/?°> ]0>_дух — физическое состояние (существует трудность с членом т|°). Поэтому \R} должно удо­влетворять соотношению L_o | R} = О, а не Ы \ R} = R-

2. Во что превращается выражение (13.2.6.18) в случае зам­кнутой струны? Покажите, что в этом случае существует "двой­ное удвоение".