- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
Замкнутая струна рассматривается так же, единственной новой чертой является присутствие (одной) новой связи
(L? - Дг) | ф) = (N - N) | -ф) = 0 (13.3.3.1)
на физические состояния1). Здесь N(Kr)—номер уровня для право (лево) бегущих мод:
ZrCni, (13.3.3.2а)
п
N= ZnCVCni. (13.3.3.26)
п
Выше мы подробно обсудили тот факт, что связь (13.3.3.1) отражает наличие остаточной калибровочной инвариантности в калибровке светового конуса (постоянные трансляции по а).
Проверка алгебры Пуанкаре снова проводится непосредственно, если исключить [Ml~, М?-]. Оказывается, что [М1~. Mf~\ отличается от "слабо исчезающего" оператора (т. е. оператора, в котором разность Lo — Lo стоит справа и который уничтожает физические состояния) аномальным членом. Этот член равен нулю только в том случае, если
с? = 26, (13.3.3.3а)
ссо = 2 (замкнутая струна), (13.3.3.36)
где ао обозначает неоднозначность упорядочения в сумме L
_]) Мы считаем, что неоднозначность упорядочения в Lo такая же, как в Lq. Фактически' это предположение не является независимым, оно следует из требования слабого равенства нулю величины [Ml~, Mf~].
Квантование струны Намбу — Гото 189
13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
Для замкнутой струны массовое уравнение имеет вид
^-M2 = N + N-2 (13.3.4.1)
(см. гл. 12), Наклон траекторий Редже составляет половину соответствующего значения для открытой струны. Кроме того, физические состояния должны быть такими, что
N = N. (13.3.4.2)
Основное состояние является вакуумом и опять соответствует тахиону. Первые возбужденные состояния соответствуют N = = N= 1:
N = Ns=\t с{*ё{*|0). (13.3.4.3)
Они имеют нулевую массу, как это и должно быть, поскольку в противном случае мы имели бы недостаточно состояний для заполнения представлений 50(25).
Состояния (13.3.4.3) распадаются на бесследовую симметричную часть (спин 2, "гравитон" g^z), антисимметричную часть (поле 2-формы Вав) и скаляр (спин 0, дилатон ф). Примечательно, что в отсутствие условия N = N = 1 можно создать векторные состояния в качестве первых возбужденных состояний. Соответственно из условия репараметризационной инвариантности (13.3.4.2) следует, что первое возбужденное состояние является безмассовым "гравитоном" со спином 2.
Следующие состояния массивны и исследуются так же, как в случае открытой струны.
Весь спектр разбивается на часть, симметричную при замене с^с право- и левобегущих мод, и на антисимметричную часть. Замена с <-+с может быть получена изменением а на —о.
Симметричное усечение ("замкнутые струны типа I") соответствует модели "Шапиро — Вирасоро" и не несет а-ориента-ции, поскольку остается неизменным при замене а на —о. Полный спектр (''замкнутые струны типа II") соответствует "расширенной модели Шапиро — Вирасоро" и описывает ориентированные струны, поскольку теперь преобразование <т—*—о* уже не тривиально действует на состояния (подробнее см. работу [36]). Оказывается, что усечения до одного лишь антисимметричного сектора, согласующегося с включением взаимодействий, не существует.
190 Глава 13