12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса

Калибровочное условие (12.5.4.1) явно содержит время т, по­этому в калибровке светового конуса эволюция во времени ди­намических переменных не определяется просто из скобок Дирака этих переменных с каноническим гамильтонианом. Так как последний равен нулю¹), обычная процедура приводила бы к бессмысленному утверждению, что ничто не зависит от вре­мени т.

Такой способ (использование скобок Дирака в динамических уравнениях) применим только для независимых от времени ка­либровочных условий [13] ив данном случае явно противоре­чит требованию сохранения во времени условия %=0 (вместо этого получаем % — \%, H]_D + д%/д% = 2а'р⁺).

Чтобы корректно описать эволюцию во времени в калиб­ровке светового конуса, нужно действовать по-другому. Одна из зозможностей состоит в том, чтобы провести зависящее от времени каноническое преобразование, которое переводит ка­либровочные условия в независящие от времени условия и ге­нерирует ненулевой гамильтониан через частную производную по времени от производящей функции S, Н ^>- Н -\- dS/дт. В на­шем случае получаем (см. упражнение 1 в конце раздела)

dS/дт = 2а'р^Лр~. (12.5.5.1)

Следовательно, гамильтониан в калибровке светового конуса имеет вид

_hl. с. ₌ 2а'р⁺р- = L*^r/2a'. (12.5.5.2)

^А) Из выражения (12.2.2.4) видно, что гамильтониан является комбина­цией связей.

148 Глава 12

После того как условия становятся независимыми от времени, можно заменить скобки Пуассона на скобки Дирака в гамиль-тоновых уравнениях и, таким образом, получить корректное описание эволюции во времени в калибровке светового конуса. Другой метод состоит в том, чтобы найти редуцированное действие в калибровке светового конуса, которое получается ис­ключением из канонического действия (12.2.2.3) зависимых пе­ременных Х£, а+, р~ и а~ с помощью условий (12.5.4.1) —

(12.5.4.3). Эта процедура допустима, другими словами, вариаци­онный принцип для действия в калибровке светового конуса приводит к корректным динамическим уравнениям. В резуль­тате получаем

^{L с} [< < j и-} =

n

(12.5.5.3)

где гамильтониан #^L- ^с- задан выражением (12.5.5.2).

Исследование действия (12.5.5.3) показывает, что гамильто­ниан H^hC- действительно является корректным генератором сдвигов во времени и скобки независимых переменных действи­тельно совпадают с (12.5.4.7). Редуцированное действие (12.5.5.3) играет важную роль в теории; например, это дей­ствие используется в определении интеграла по траекториям в калибровке светового конуса.

Упражнения

1. Получите явными вычислениями производящую функцию канонических преобразований

иг == Х~ — 2а'р-т, и+ = Х+ — 2а'р⁺%

(остальные переменные не меняются). Покажите, что ее част­ная производная по времени задана выражением (12.5.5.1).

2. Докажите корректность использования редуцированного действия в калибровке светового конуса. Покажите, что вариа­ ционный принцип 6S^L- ^с- = 0 порождает все калибровочные усло­ вия (для независимых переменных). Найдите общие аргумен­ ты, которые доказывают, что скобки, задаваемые действием (12.5.5.3), являются стандартными скобками Дирака.