Тема 6. Дробный факторный эксперимент

Исследователь должен отчётливо представлять, что в соответствии с формулой (**) на с. 56 с увеличением числа факторов k значительно возрастает количество потребных опытов. Это увеличивает трудоёмкость исследования, требует для его проведения большего времени и больших затрат.

При варьировании на двух уровнях трёх факторов минимальное число опытов N_min = 2³ = 8; четырёх факторов –N_min = 2⁴ = 16; пяти факторов –^-N_min = 2⁵ = 32 и т.д.

В металлургии и литейном производстве объекты, как правило, являются многофакторными. Поэтому несомненный интерес представляет использовать такую методику эксперимента, которая даёт возможность сократить число опытов. Такой методикой явился дробный факторный эксперимент (ДФЭ)

ДФЭ отличается от полного факторного эксперимента тем, что исследователь реализует не все опыты, предусмотренные матрицей плана ПФЭ, а лишь часть их, которая называется дробной репликой ПФЭ [2], с.144…151; [3], с.62 … 70 (полурепликой, четвертьрепликой и т.д.). Для этого имеется возможность приравнивания кодированных значений отдельных факторов произведениям кодированных значений других факторов. Следовательно, эти отдельные факторы можно не варьировать в процессе эксперимента, число опытов в составе которого соответственно сократится.

Формальным основанием ДФЭ является информационная избыточность ПФЭ, поскольку число отдельных опытов в составе последнего превышает количество искомых коэффициентов математической модели объекта.

Сокращение числа опытов в ДФЭ вынуждает ограничиваться более простыми моделями, например только их линейным приближением, то есть без включения в состав модели членов, содержащих произведения факторов.

При изучении теории ДФЭ используется значительно более сложный математический аппарат, чем необходимый в ПФЭ. Здесь особое внимание рекомендуется уделить ознакомлению с такими понятиями, как смешивание оценок, генерирующие соотношения, определяющий контраст, эффекты взаимодействия различных порядков и метод перевала.

Для более ясного понимания материала данной темы рассмотрим следующий пример.

Пусть требуется найти линейную математическую модель объекта вида

Ŷ = b₀ + b₁ X₁ + b₂ X₂ + b₃ X₃ ^. (***)

Решение подобной задачи методом ПФЭ потребовало бы постановки N_min = 2³ = 8 опытов. Метод ДФЭ позволяет ограничиться лишь четырьмя опытами, то есть полурепликой от плана ПФЭ (табл.4 и 5, где u – номер строки матрицы плана эксперимента).

Таблица 4

Первая полуреплика пфэ типа 23

№ опыта	X0	X1	X2	X1· X2= X3	Yu
1	+	–	–	+	Y1
2	+	+	–	–	Y2
3	+	–	+	–	Y3
4	+	+	+	+	Y4

Таблица 5

Вторая полуреплика пфэ типа 23

№ опыта	X0	X1	X2	X1· X2= – X3	Yu
5	+	–	–	–	Y5
6	+	+	–	+	Y6
7	+	–	+	+	Y7
8	+	+	+	–	Y8

Вообще, если реализовать ПФЭ типа 2², то последний даёт возможность построить модель вида

Ŷ = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₁₂X₁X₂ .

Сравнивая между собой последнее выражение и формулу (***) на с.60 и замечая, что столбцы матриц для X₃ в табл. 4 и для X₁· X₂ в табл. 5 взаимно коррелированны, то есть изменение в одном из них сопровождается таким же изменением в другом. Отсюда можно заключить, что приравнивание произведения двух факторов третьему фактору X₁· X₂= X₃ делает оценку коэффициента b₃ смешанной с оценкой коэффициента b₁₂.

Формальное приравнивание произведения факторов фактору, не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. На основании этой идеи удаётся сократить число варьируемых факторов в процессе эксперимента и тем самым уменьшить общее число опытов, необходимых для построения математической модели объекта.

Операцию смешивания оценок коэффициентов модели, полученной способом ДФЭ, принято условно записывать в виде выражения

b₃ → ₃ + ₁₂,

где символ  использован для обозначения истинного значения соответствующего коэффициента, которое могло бы быть оценено методом ПФЭ.

Опыт общения со студенческой аудиторией показывает, что термин “эффект взаимодействия факторов” часто воспринимается совершенно неверно как якобы один из факторов воздействует на другой и наоборот. В действительности факторы независимы! А этот неудачный термин означает, что значение выхода объекта зависит не только от значения одного из факторов, но также от того, каково при этом значение другого фактора.

Если из априорной информации (например, из теоретических основ функционирования исследуемого объекта известно, что в действительности эффекты взаимодействия факторов отсутствуют или незначительны, то есть любое изменение данного фактора воздействует на выход объекта совершенно независимо от численных значений других факторов, то результаты ДФЭ и ПФЭ оказываются полностью идентичными. В таком случае ₁₂ = 0, следовательно b3 = 3, что даёт возможность реализовать упомянутые выше преимущества ДФЭ.

Пример. В одной из задач потребовалось построить математическую модель прочности сплава σ_в, МПа, на основе железа при 800°С в зависимости от содержания в нём семи элементов: Cr, Ni, Mo, V, Nb, Mn, C.

Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки N_min = 2⁷ = 128 опытов (опытных плавок с последующим определением свойств образцов стали каждой из них).

Из металлографических соображений эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны или пренебрежимо малы.

Была реализована 1/16 реплика ПФЭ, то есть ДФЭ типа 2^7-4, где формально четыре фактора были заменены соответствующими произведениями остальных факторов. Это позволило сократить число опытов до 2^7-4 = 8.интервалы варьирования выбрали из экономических соображений.

Особенности проведения ДФЭ в рассматриваемом примере представлены в табл.6

Заметим, что дробные реплики, образованные делением матрицы планирования ПФЭ на две, четыре, восемь (вообще на 2^m, где m – целое число) частей, называются регулярными. Обработка и анализ таких реплик производится по тем же правилам, что и в ПФЭ.

В общем случае условное обозначение плана регулярной реплики имеет вид L^k-p, где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия (произведению факторов).

Таблица 6

Пример планирования эксперимента по методу ДФЭ

Исследуемые факторы	Процентное			содержание э		элементов		Прочность σв, 10 МПа
	1	2	3	4	5	6	7
	Сг	Ni	Мо	V	Nb	Мn	С
Основной уро-вень, % уровень, %	4	2	0,1	0,02	0,1	0,4	0,4
Интервал :.
варьирова-
ния, %	1	1	0,1	0,02	0,1	0,1	0,1
Верхний
уровень, %	5	3	0,2	0,04	0,2	0,5	0,5
Нижний
уровень, %	3	1	0	0	0	0,3	0,3
Обозначения
переменных	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
№ опыта
1	—	—	—	—	—	—	—	1,5
2	+	+	—	—	+	+	— —	3,5
3	+	—	+	—	+	—	+	6,2
4	—	+	+	—.	—	+	+	3,2
5	+	—	—	+	—	+	+	5,3
6	—	+	—	+	+ .	— — -	+	5,1
7	—	—	+	+	+	+	—	5,3
8	+	+	+	+	—	—	—	5,8

Обработка результатов привела к следующей математической модели прочности исследуемого сплава

σ_в = (4б5 + 0,72 X₁ – 0,09 X₂ +0,64 X₃ +0,89 X₄ +0,54 X₅ –

- 0,16 X₆ +0,46 X₇) · 10 МПа,

где X₁ … X₇ – кодированные значения факторов (содержания соответствующих легирующих элементов в сплаве).

Важно отметить, что в случаях, когда нет уверенности в отсутствии эффектов взаимодействия факторов, необходимо переходить к более сложным планам ДФЭ. При этом базироваться на использовании генерирующих соотношений и определяющих контрастов, описанных в рекомендованной литературе [2], c.144 … 151; [3], c. 62 … 70.