Краткое теоретическое содержание

В ряде задач исследователю необходимо получить адекватную математическую модель, описывающую участок сложной поверхности отклика вблизи её экстремума, где ротатабельный план эксперимента не дал желаемых результатов. В этом случае существует возможность решить поставленную задачу на основе постановки многоуровневого факторного эксперимента.

Из теории активного эксперимента (см., например, [2], с.130) известно, что для получения математической модели, в состав которой i – й фактор входит в степени r, этот фактор должен в процессе реализации опытов варьироваться не менее, чем на l = r + 1 уровнях. Поэтому с помощью многоуровневого эксперимента может быть получена математическая модель столь высокого порядка, который необходим для её адекватности.

Методика выполнения работы

С целью обеспечения наглядности применения расчетной методики, ограничимся второй степенью переменных в составе математической модели, полагая, что при возникновении потребности в модели более высокого порядка, исследователь, действуя по аналогичному алгоритму, будет способен достичь поставленной цели (См. файл МФЭ.xls).

Контрольный пример

Методом многоуровневого факторного эксперимента исследовали зависимость прочности сплава , на основе алюминия от содержания в нем кремния и марганца. Требуется построить математическую модель

где

Решение

Для решения используем систему электронных таблиц Excel (Microsoft Office). На листе 1 блок данных А3:Е37 содержит кодированные значения факторов Х₁, Х₂, варьируемых на пяти уровнях каждый. Экспериментальные значения отклика объекта занимают интервал F3:F37.

Произведем комплексный статистический анализ представленных исходных данных известными командами из главного меню Excel:

Сервис | анализ данных | регрессия

и по запросу компьютера указываем в окне “РЕГРЕССИЯ” интервалы исходных данных аналогично предыдущим работам.

На лист 2 выводятся итоги вычислений, из которых нас прежде всего интересуют следующие:

1) критерий R² = 0,9623 по грубой оценке свидетельствует об адекватности модели;

2) доверительные вероятности  = 1 – “Р – значение” коэффициентов модели (см. данные в интервале Е17:Е22, лист 2) составляют

Отсюда с доверительной вероятностью  = 0,99 значимыми оказываются только первые три коэффициента для линейной модели

что не уcтраивает исследователя.

Приняв доверительную вероятность исследователь получает модель 2 -го порядка в виде

.

Аналогичным путем с помощью Excel можно продолжать повышать порядок модели и вычислять её коэффициенты. Напомним, что члены модели с незначимыми коэффициентами (как, например, b₃ в рассматриваемой задаче, где доверительная вероятность  < 0,95) из состава математической модели исключаются.

Для строгого суждения об адекватности модели с помощью критерия Фишера необходимо дублирование опытов с последующими дополнительными вычислениями, как это было сделано в предыдущих работах. Поскольку в данном примере параллельные опыты не ставились в силу существенного возрастания общего числа опытов, произведем оценку адекватности с некоторыми упрощениями. Как и выше, дополним “стандартные” вычисления в среде Excel (по столбец F включительно). Найдем модельные значения (G3:G37) и дисперсию адекватности модели Dад определением построчных разностей D_ад,,u = Y_u - в диапазоне (H3:H37). Последние просуммируем и разделим на N – L = 35 – 5 = 30, как это производилось ранее при обработке данных ПФЭ. Тогда дисперсия адекватности D_ад = 2,4945 (ячейка Н38).

Чтобы определить дисперсию воспроизводимости выхода с использованием метрологических характеристик применяемой аппаратуры, примем, что измерение производится на установке класса точности 1,0 с пределами измерения от 10 до 1250 МПа. Тогда [2], с.144

(ячейка Н39).

В результате экспериментальное значение критерия Фишера

F_э = D_ад / D_у = 0,6040.

Табличное значение того же критерия по данным [2], с.228 при доверительной вероятности 0,95 составляет F_T > 2,09 (ячейка Н41).

Таким образом, F_э < F_т (с большим запасом точности), откуда можно заключить, что полученная математическая модель адекватная.

Студенту предлагается произвести дальнейшее усложнение математической модели объекта (что возможно до 4-й степени переменных, проварьированных в рассматриваемом примере на 5 уровнях), и произвести её анализ по той же схеме, которая изложена выше.