Лабораторная работа №10 Моделирование процесса симплексной оптимизации

Цель работы: развитие способности студента к самостоятельным действиям при поиске оптимального состояния исследуемого объекта методом деформируемого симплекса.

Краткое теоретическое содержание работы

Пусть на предварительной стадии исследования одного из двухфакторных технологических объектов получена следующая его математическая модель

ŷ =

где b₀ = 25 ; b₁ = – 0,05 ; b₂ = –31; b₃ = 0,0002 ; b₄ = 461; b₅ = – 0,03.

Визуальной оценкой формы поверхности отклика по методу, извест ному из литературы [4], c. 99 … 107 (ранее проработанной по дисциплине “Информационные технологии в металлургии”), установлено, что эта поверхность имеет минимум. Для уточнения оптимальных значений факторов может быть использован метод деформируемого симплекса [2], c.179 … 181.

Методические указания к выполнению работы

Для решения поставленной задачи предлагается использовать компьютерную программу Р03. Программа рассчитана на диалоговый режим взаимодействия с пользователем. После запуска на экране монитора высвечиваются запросы о численных значениях требуемых для поиска оптимума переменных, которые должен ввести студент.

Контрольный пример

Число аргументов N = 2, шаг (расстояние между вершинами симплекса) К = 1, начальное состояние: х₁ = 3, х₂ = 4, параметры деформации симплекса:  = 1 - нормальное отражение,  = 0,5 - сжатие,  = 2 - растяжение.

Ответ:

Минимум функции найден при оптимальных значениях аргументов х₁=127, 6; х₂ = 3,770 х 10 ^-2.

При этом значение минимизируемой функции составило 21,22,

Число вычислений функции 123.

После решения контрольного примера, общего для всех, студенты должны выполнить данную лабораторную работу по индивидуальному варианту. Для этого каждый студент к цифрам младшего разряда численных значений всех коэффициентов b_i математической модели оптимизируемого объекта прибавляет последнюю цифру своего шифра.

Результаты поиска оптимума представляются в отчёте.

По каждой из выполненных лабораторных работ необходимо к зачёту по настоящей дисциплине представить отчёт, содержащий наименование работы, её цель, краткое теоретическое содержание работы, методику её выполнения, исходные данные и полученные по своему варианту результаты решения.

Для более глубокого понимания сущности лабораторных работ может быть использована литература [4], [5].

4. Блок контроля освоения дисциплины

4.1. Задание на курсовую работу

Задание может быть типовым или индивидуальным. Типовым зада-нием предусмотрена комплексная обработка и анализ результатов полного факторного эксперимента (ПФЭ) с построением математической модели исследуемого объекта и оценкой её коэффициентов, а также адекватности модели по статистическим критериям. Вариант типового задания студент выбирает по своему шифру (см. далее табл.10 … 12). Индивидуальное задание руководитель назначает по желанию студента с учетом его производственного или научно-исследовательского опыта. Ниже приведены примеры индивидуальных заданий также по комплексной обработке и анализу результатов не только ПФЭ, но и дробных факторных экспериментов (ДФЭ), а также – регрессионно - корреляционного анализа данных пассивного эксперимента.

Общие указания: по данным эксперимента студент строит математическую модель исследуемого объекта сначала как функцию кодированных (безразмерных) значений факторов X₁, X₂, X₃ … [1, 2], а затем преобразует эту модель к виду функции натуральных (то есть имеющих конкретные размерности) значений тех же факторов x₁, x₂, x₃ … . При этом имеет место известное из теоретических основ дисциплины соотношение

где i - порядковый номер фактора,

x_oi – основной уровень фактора, в качестве которого часто принимают среднее арифметическое между верхним и нижнимего натуральными значениями или одно из лучших значений, известных ко времени начала исследования

Δx_i – интервал варьирования данного фактора.

Отсюда

Тогда математическая модель представляется в следующих видах:

;

где коэффициенты остальные – по аналогии.

При x_i = x_0i имеем =a₀ = b ₀ .

Следует отметить, что натуральные x₁, x₂ и другие факторы в выражении математической модели исследуемого объекта на практике, то есть за пределами планируемого эксперимента, могут иметь произвольные значения как ниже, так и выше своих основных уровней, принятых при ПФЭ или ДФЭ. Это практически может быть использовано для прогнозирования поведения объекта, например, при совершенствовании технологических процессов. Однако необходимо иметь в виду, что надёжность такого прогноза сохраняется полной при условии, что значения факторов не выходят за пределы их варьирования, то есть имеет место интерполирование x_i. При выходе же за пределы варьирования факторов (экстраполироование x_i) степень адекватности модели может постепенно снижаться из – за нелинейности свойств объекта, и требуется выборочная проверка адекватности прогноза опытным путём.

При обработке и анализе результатов пассивного эксперимента (вариант индивидуального задания) кодирования факторов не требуется, и математическую модель объекта строят по данным их случайных значений, полученных при различных неуправляемых воздействиях на объект и наличии погрешностей измерений.

Исходные данные для выполнения типового задания следующие.

Дана матрица планирования полного факторного эксперимента

(табл.9) типа 2³, где - кодированные значения факторов соответственно, поддерживаемых в каждом конкретном опыте на верхнем

( = +1, или "+"), либо на нижнем (=–1, или "–") уровнях, а y_u1 и y_u2 - отклики объекта в двух сериях параллельных опытов при одних и тех же значениях факторов. Здесь u - номер опыта и соответствующей строки матрицы.

По такому плану исследовалось, например, влияние трёх факторов: x₁ - содержания жидкого стекла (% от массы кварцевого песка); x₂ – количества феррохромового шлака (% от массы кварцевого песка), используемого в качестве отвердителя жидкого стекла, и x₃ – влажности этого шлака (%) на её сопротивлению разрыву y, Па, после отверждения в течение одного часа [2, 3]. Такая смесь используется в качестве облицовочной для изготовления тяжелых стальных отливок (уплотнение пескомётным способом). Содержание глины в количестве 1% остаётсяпостоянным. Приняты определённые значения верхних и нижних уровней варьируемых факторов и интервалов их варьирования, %:

Таблица 12

№№	Факторы			Отклики
опытов	X1	X2	X3	yu1	yu2
1	-	-	-
2	+	-	-
3	-	+	-
4	+	+	-
5	-	-	+
6	+	-	+
7	-	+	+
8	+	+	+

Изменения результатов параллельных опытов при одних и тех же значениях факторов могут быть объяснены как непостоянством свойств кварцевого песка, используемого в разные периоды времени, так и погрешностями соответствующих измерений.

Предварительные значения откликов студент выбирает из табл.13 в зависимости от предпоследней цифры своего шифра. Здесь в первой графе каждого столбца приведены результаты первого из двух параллельных опытов y_u1, а во второй – второго, то есть y_u2. Эти данные следует скорректировать по последней цифре шифра студента, согласно данным табл.14. Для этого исходные значения y_uq алгебраически суммируют с поправкой.

Таблица 13

№№ опытов	Предварительные результаты опытов в зависимости от предпоследней цифры шифра, 10^4Па
	1		2		3		4		5
	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2
1	8,00	8,12	7,62	7,52	7,58	7,48	6,56	6,62	9,60	9,38
2	9,97	10,15	10,00	10,29	8,74	9,09	7,75	7,89	10,70	11,00
3	7,68	7,56	6,68	6,94	6,95	6,66	5,91	5,99	8,90	8,76
4	9,00	9,15	8,15	8,27	7,80	8,15	6,68	6,57	9,82	10,03
5	9,97	9,90	8,90	8,57	8,62	8,51	7,59	7,41	10,52	10,31
6	11,29	11,19	12,16	11,99	10,10	10,02	9,00	9,11	12,19	12,03
7	8,92	9,17	8,12	8,39	7,80	7,89	6,65	6,79	9,70	9,92
8	10,35	10,68	9,00	9,35	9,15	9,60	8,12	8,05	11,11	11.01

Продолжение табл. 13

№№ опытов	Предварительные результаты опытов в зависимости от предпоследней цифры шифра, 10^4Па
	6		7		8		9		0
	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2	yu1	yu2
1	11,58	11,64	15,36	15,01	19,48	19,31	16,50	16,64	12,48	12,72
2	13,16	13,39	17,45	17,49	22,03	21,89	18,92	19,16	14,91	15,12
3	11,83	12,11	15,82	16,00	20,07	17,19	15,00	15,23	11,90	11,65
4	10,37	10,25	14,02	14,19	17,27	19,92	17,60	18,15	13,26	13,72
5	13,02	12,84	17,39	17,72	22,04	21,87	19,45	19,78	14,09	13,89
6	14,99	14,72	19,85	20,06	25,17	25,02	22,09	22,03	16,64	16,51
7	11,89	11,69	15,79	15,92	19,99	20,16	17,62	17,72	13,22	13,19
8	13,70	13,95	17,99	18,16	23,04	22,91	20,81	21,09	15,83	16,10

Таблица 14

Последняя цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Поправка, 10^4Па	0	-0,5	+0,4	-0,4	+0,2	-0,1	+0,1	-0,3	+0,3	-0,2

Например, студент, шифр которого оканчивается цифрами 82, для решения задачи принимает следующие данные (табл.19) результатов опытов (где - 0,5 является поправкой).

Таблица 15

Номера	Окончательно, 10^4Па
опытов	yu1	yu2
1	19,48 - 0,5 = 18,98	19,31 - 0,5 = 18,81
2	22,03 - 0,5 = 21,53	21,89 - 0,5 = 21,39
…	…	…

Требуется найти математическую модель исследуемого объекта при доверительной вероятности 0,95. Проверить однородность построчных дисперсий, оценить значимость отдельных коэффициентов и адекватность модели в целом. Охарактеризовать эффекты взаимодействия факторов, если они значимы. Выявить самый сильный и самый слабый факторы и указать направления их воздействия на отклик объекта.

В случае признания математической модели неадекватной описать возможный план дальнейших действий исследователя, направленных на достижение адекватности искомой модели в реальной ситуации научного исследования.

Примеры индивидуальных заданий:

1) Исследуется процесс образования пригара на поверхности отливок из серого чугуна в сырых песчано – глинистых формах в зависимости от следующих факторов:

- твёрдость формы x₁, варьируемая от нижнего уровня 70 до верхнего 90 ед.;

- количество противопригарной добавки (каменноугольной пыли) x₂ соответственно от 0,5 до 1,5 % от массы песка;

- температура заливки x₃, - от 1320 до 1360 °C.

В качестве отклика y рассматривалась относительная поверхность отливки, поражённая пригаром, %.

С целью выявления характера влияния рассматриваемых факторов на величину y реализован ПФЭ типа 2³ _, в котором кодированные значения факторов соответствуют данным табл.16. При этом каждый из 1 … 8 опытов поставлен дважды. Полученные значения отклика y₁ и y_{2, %,} представлены в той же табл. 16

Таблица 16

№	Факторы и эффекты их взаимодействия							Отклики,%
	X1	X2	X3	Х4= X1∙X2	Х5=X1∙X3	Х6=X2∙X3	Х7=X1∙X2∙X3	y1	y2
1	1	1	1	1	1	1	1	7,0	7,5
2	-1	1	1	-1	-1	1	-1	12,0	11,7
3	1	-1	1	-1	1	-1	-1	10,0	9,7
4	1	1	-1	1	-1	-1	-1	3,0	3,2
5	-1	-1	-1	1	1	1	-1	14,0	13,0
6	1	-1	-1	-1	-1	1	1	6,0	6,2
7	-1	1	-1	-1	1	-1	1	9,0	8,5
8	-1	-1	1	1	-1	-1	1	18,0	19,0

Требуется найти и описать математическую модель влияния данных факторов на степень развития пригара. Охарактеризовать влияние отдельных факторов (силу и направление воздействия) на процесс образования пригара.

Рекомендации. Для выполнения задания использовать методику, во многом аналогичную используемой в типовом задании, с дополнительным обращением к литературе [2, … , 5].

2) С целью установления зависимости прочности на сжатие (y₁, МПа) во влажном состоянии и текучести (y₂, %) песчано – глинистой формовочной смеси от изменения содержания в ней глины (x₁, % ) и воды (х₂, %) при постоянном времени перемешивания в бегунах, равном 10 мин, поставлен полный факторный эксперимент (ПФЭ), матрица планирования которого типа 2² представлена в табл.17. Верхние уровни варьирования факторов х₁ и х₂ составили 12,0 и 5,5 %, нижние соответственно 8,0 и 3,5 %.

Результаты исследования прочности смеси в двух сериях параллельных опытов обозначены как y'₁ и y"₁, а текучести – как y'₂ и y"₂. В той же таблице представлены построчные средние значения откликов y_1ср и y_2ср соответственно.

Таблица 17

Опыты №№	Факторы			Прочность смеси y1,МПа			Текучесть смеси y2, %
	X1	X2	X1∙X2	y'1	y"1	y1ср	y'2	y"2	y2ср
1	1	1	1	0,058	0,060	0,059	62,0	63,0	62,5
2	1	-1	-1	0,072	0,070	0,071	72,0	70,0	71,0
3	-1	1	-1	0,045	0,047	0,046	41,0	43,0	42,0
4	-1	-1	1	0,057	0,055	0,056	57,0	56,0	56,5

Найти и охарактеризовать искомую зависимость в виде математической модели в кодированных и натуральных значениях факторов.

Рекомендации. Методика обработки и анализа результатов ПФЭ изложена в литературе [2, 3], особенности компьютерной обработки и анализа данных – в [4, 5].

3) Исследованию подвергается песчано – глинистая формовочная смесь для формовки по - сырому, в составе которой варьируются в процентах от массы сухого кварцевого песка:

- глина (фактор x₁) от нижнего уровня 8,0 до верхнего уровня 12,0 %;

- вода (фактор x₂) соответственно от 3, 5 до 5,5 %;

- продолжительность перемешивания компонентов в бегунах (фактор x₃) поддерживается равной 10 мин на нижнем уровне и 16 мин на верхнем.

Требуется определить зависимость прочности формовочной смеси на сжатие y, МПа, от названных технологических факторов. Эту зависимость представить в виде математической модели, выраженной как в кодированных, так и в натуральных значениях факторов.

Таблица 18

№№ опытов	Факторы			Отклики, МПа
	X1	X2	X3=X1∙X2	y1	y2
1	1	1	1	0,076	0,074
2	-1	1	-1	0,055	0,057
3	1	-1	-1	0,064	0,065
4	-1	-1	1	5,9	0,060

Рекомендации. Для решения задачи необходимо использовать результаты y₁ и y₂ реализации каждого из двух параллельных опытов_, МПа, в составе дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2^3-1, представленные в табл.18. На базе последних построить и охарактеризовать математическую модель исследуемой формовочной смеси, как функцию определяющих её факторов c использованием материалов [2 … 3].

4) При пассивном эксперименте получена выборка (табл.19) – пассивный эксперимент - результатов контроля технологического процесса выплавки стали для изготовления отливок ответственного назначения, где исследуемыми факторами являются х₁ – температура металла в заключительном периоде плавки, °С; х₂ – основность шлака

как функция содержания в нём соответствующих компонентов, %;

х₃ – содержание FeO в шлаке, %.

Необходимо найти зависимость степени десульфурации стали

где [S]_нач и [S]_кон – начальное и конечное содержания серы в металле, %, от определяющих её факторов. Искомую зависимость представить в виде линейной математической модели, выраженной в натуральных значениях факторов. Эффекты взаимодействия факторов в рассматриваемой системе отсутствуют.

Рекомендации. Для решения поставленной задачи наиболее целесообразно использовать табличный процессор Excel (функцию “Регрессия” в меню “Анализ данных”). При этом оценить значимость отдельных коэффициентов при доверительной вероятности 0,95, а адекватность модели проверить по критерию “R – квадрат”.

Таблица 19

№№ проб	x1 = t,°C	x2 = B	x3 = (FeO), %	y
1	1535	2,31	3,83	0,16
2	1558	2,39	4,03	0,31
3	1579	2,24	3,85	0,56
4	1610	2,28	3,99	0,69
5	1569	2,25	3,74	0,22
6	1553	2,58	3,88	0,38
7	1558	2,85	3,79	0,49
8	1563	3,24	3,93	0,56
9	1568	2,53	1,67	0,69
10	1558	2,58	2,51	0,53
11	1561	2,47	3,12	0,37
12	1545	2,51	4,52	0,22

5) Испытания образцов специального сплава при непостоянстве содержания в нём x₁ = [Si],% и x₂ = [Mn],% на фоне относительного постоянства концентраций других элементов (табл.20) при пассивном эксперименте показали существенный разброс прочности на растяжение y = σ_в, МПа.

Необходимо найти зависимость прочности сплава от содержания в нём кремния и марганца в виде математической модели.

Оценить значимость коэффициентов и адекватность модели при доверительной вероятности 0,95. Охарактеризовать влияние рассматриваемых элементов на прочность сплава.

Таблица 20

№№	x1=[Si],%	x2=[Mn],%	x3=x1^2	x4=x1·x2	x5=x2^2	y = σB, MПа
1	2,11	1,49	4,45	3,14	2,22	130
2	8,43	1,12	71,1	9,44	1,25	142
3	9,98	0,95	99,6	9,48	0,90	117
4	3,22	3,91	10,4	12,6	15,3	129
5	7,15	1,99	51,1	14,2	3,96	158
6	5,28	2,03	27,9	10,7	4,12	162
7	5,05	2,49	25,5	12,6	6,20	161
8	8,97	3,99	80,5	35,8	15,9	94
9	9,86	3,48	97,2	34,3	12,1	95
10	2,21	3,87	4,88	8,55	15,0	122
11	6,88	3,01	47,3	20,7	9,06	149
12	4,08	1,87	16,6	7,63	3,50	159
13	8,13	1,01	66,1	8,21	1,02	141
14	6,28	3,49	39,4	21,9	12,2	144
15	2,89	3,98	8,35	11,5	15,8	129
16	3,03	3,16	9,18	9,68	9,99	152

Выявить наличие, вид и координаты [Si], [Mn], %, экстремума функции c использованием материалов [4], ч.1, с. 85 … 88; [5], c. 62 … 63, и лабораторной работы №10.