Вопросы для самопроверки

1. В какой степени должны входить технологические факторы в состав математической модели, чтобы по результатам эксперимента оптимизировать исследуемый объект?

2. Если объект обладает несколькими экстремумами поверхности отклика, то увеличивает ли это число опытов на поиск оптимума?

3. За счет чего метод золотого сечения позволяет сократить количество опытов на поиск оптимума в интервале неопределенности?

4. Каково происхождение чисел 0,382 и 0,618 в примере реализации метода золотого сечения?

5. Во сколько раз сужается интервал неопределенности с каждым опытом по методу золотого сечения?

6. Как распознать минимум и максимум отклика объекта в интервале неопределенности в процессе реализации метода золотого сечения?

7. Каким свойством обладают числа Фибоначчи?

8. Во сколько раз сужается интервал неопределенности значений фактора после реализации N опытов по Фибоначчиеву плану?

9. Каким образом рассчитываются координаты опытов в интервале неопределенности при использовании N – шагового Фибоначчиева плана?

Тема 9. Оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика

Начиная с данной темы, студент знакомится с возможными способами поиска экcтремума поверхности отклика многофакторных объектов. Здесь рекомендуется ознакомиться с такими методами, как метод Гаусса – Зейделя, методами случайного поиска, градиента. Эти методы могут использоваться практически, но их эффективность невысокая, поскольку для их реализации требуется большое число опытов.

Значительно более высокой эффективностью обладает рассматриваемый в настоящей теме метод крутого восхождения по поверхности отклика, известный также под названием метода Бокса-Уилсона [2], с. 169…174, или [3], с. 74…79.

Реализация метода крутого восхождения состоит из следующих этапов:

а) Постановка полного или дробного факторного эксперимента в окрестностях точки начального состояния объекта, например, точки А на рис. 9.1 [2] или рис. 6 [3].

б) Обработка, анализ полученных экспериментальных данных и построение математической модели объекта, точнее – математического описания участка поверхности отклика в названной окрестности точки начального состояния объекта. При этом для экспериментальной оптимизации объекта могут быть использованы как адекватные, так и неадекватные математические модели, например для двухфакторного объекта .

в) Определяют градиент поверхности отклика

как векторной суммы частных производных функции по её аргументам X₁ и X₂, где - единичные векторы (орты), лежащие соответственно на осяхX₁ и X₂. Градиент оказывается вектором, указывающим направление наиболее крутого возрастания значения у в ответ на изменение факторов X₁ и X₂. Предполагается, ось у перпендикулярна к плоскости рисунка.

г) На линии градиента OG (рис. 9.8 [2]) планируют серию опытов по поиску ближайшего локального (то есть местного) максимума у, для определения координат которого необходимо:

- рассчитать для каждого из факторов произведения , где– интервал варьирования фактора при ПФЭ (ДФЭ);

- один из факторов принять в качестве базового, у которого

;

- задаться шагом изменения базового фактора от опыта к опыту;

- чтобы в процессе постановки серии опытов по поиску max у не “сбиться” с направления градиента, шаги изменения других факторов h_i определить из соотношения

;

- ставить опыты на линии градиента, сравнивая между собой полученные значения у;

- опыты продолжать до тех пор, пока последовательное возрастание у не изменится на его убывание. Тем самым определится положение искомого оптимума (ближайшего локального максимума у).

Если достигнутого значения у недостаточно, в окрестностях данного локального оптимума ставят новый ПФЭ или ДФЭ, определяют новое значение градиента, в направлении этого градиента продолжают опыты и так далее – до отыскания глобального оптимума.

Настоятельно рекомендуется детально ознакомиться с примером оптимизации прочности сплава, содержащего 7 уже упоминавшихся ранее легирующих элементов [2], с. 172…174 или [3], с. 76…79.

Если задача экспериментатора заключается в поиске не максимума у, а его минимума, то процедура эксперимента отличается от рассмотренной лишь тем, что опыты ставятся в направлении не градиента, а антиградиента, то есть в противоположном по отношению к градиенту направлении. Последняя процедура получила наименование “наискорейшего спуска”.

Пример. На основе построенной математической модели прочности сплава (см. пример в материалах темы 6, с. 63) требуется найти оптимальные концентрации тех же легирующих элементов, обеспечивающих получение максимальной прочности стали на растяжение при температуре 800°С. Результаты соответствующих расчетов и опытные данные сведены в табл. 3, где информация, представленная в строках 1 ... 3, взята из предыдущего примера.

Наибольшее значение произведения b_iΔx_i = 0,72 (см. строку 4 табл.7 ) присуще первому из факторов — содержанию в сплаве хрома. Поэтому содержание хрома принято в качестве базового фактора. Шаг варьирования для базового фактора принят равным h_a= h₁ = 0,8% (см. строку 5 табл.).

Шаги варьирования для остальных факторов рассчитаны согласно данным выше указаниям.

Координаты (значения факторов) x₁ … x₇ в опытах 1 ... ... 10 определены последовательным алгебраическим суммированием исходных содержаний соответствующих элементов в сплаве (строка 1 табл.) с величинами шагов варьирования (строка 5).

Кодирование этих координат по известным правилам и подстановка их в модельное уравнение прочности сплава позволяет определить модельные значения прочности сплава y в мысленных опытах (то есть расчётом) 1 ... 4. Последовательное их возрастание свидетельствует о правильности определения градиента.

Мысленный опыт 5 проверили его практической реализа­цией. Действительное значение прочности сплава оказалось равным y = 103 МПа.

Это существенно расходится с. “модельным” значением y = 170 МПа. Однако, подобное расхождение может быть объяснено тем, что к опыту 5 исследова­тели достаточно далеко отошли от основного уровня факторов, в окрестностях которого была определена математи­ческая модель. С удалением от области ее определения модель “работает” все менее точно, поскольку все подобного рода математические модели являются интерполяционными (они надёжно “работают” только в пределах области определения факторов)..

Реализация опытов 7...10 позволила исследователям найти локальный экстремум (максимум) прочности y = 115 МПа в условиях опыта 8 (строка 13 табл.).

О высокой эффективности метода крутого восхождения говорит тот факт, что локальный экстремум был найден постановкой всего лишь 13 опытов (из них 8 — для определе­ния начальной математической модели). Для проведения статистического анализа число опытов может быть увеличено.

Как следует из полученных данных, в точке локаль­ного экстремума прочность сплава повысилась уже более чем к 2,5 раза по сравнению с первоначальной.

В качестве рекомендаций к использованию метода крутого восхождения отметим, что при выборе шагов варьирования факторов совершение первого же шага в процессе поиска оптимума не должно выводить объект за границы области определения факторов. Если через некоторое число шагов эта граница оказалась достигнутой одним из факто­ров, то при дальнейшем поиске такой фактор может быть зафиксирован, и число варьируемых факторов сократится.

В качестве рекомендаций к использованию метода крутого восхождения отметим, что при выборе шагов экстремума — минимума знаки коэф­фициентов нужно поменять на обратные (для определения движения по антиградиенту в факторном пространстве).

Следует также отметить, что достижение локального экстремума в рассмотренном примере еще не свидетельствует о полном окончании процесса поиска опти­мума. Поиск должен быть продолжен в направлении градиента, определенного из окрестностей достигнутого локального экстремума, а не из начальных условий.

По мере приближения к общему (глобальному) экстремуму степень кривизны поверхности отклика возрастает, и линейные модели становятся неадекватными, что снижает вероятность успеха поиска оптимума методом крутого вос­хождения. Здесь требуется уменьшать степень дробности ДФЭ, от ДФЭ переходить к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка.