4.2. Методические указания к выполнению курсовой работы

Обработку результатов ПФЭ или ДФЭ для построения математической модели согласно общепринятой методике производят по специальному алгоритму, насчитывающему 12 шагов [ 2 ], с.139...144 или [3], с. 56 … 62:

1. Рассчитывают построчные (то есть для каждой строки) средние значения отклика:

( 1 )

где- порядковый номер параллельного номера, общее число которых составляет П. В настоящем задании П = 2.

2. Вычисляют оценки построчных дисперсий:

^,( 2 )

3. Находят максимальную D_max из восьми дисперсий.

4. Рассчитывают сумму всех (т.е.восьми) построчных дисперсий:

( 3 )

где N = 8 (число строк матрицы плана эксперимента).

5. Определяют экспериментальное значение критерия Кохрена:

G_э = D_max / S ( 4 )

6. Из таблицы [ 2 ], с.230, приложение 7 или [3], c.87, приложение 4 выбирают теоретическое (табличное) значение критерия Кохрена G_т при доверительной вероятности  = 0,95 и N = 8.

7. Проверяют соблюдение условия однородности построчных диспер-сий, согласно которому должно быть:

G_э  G_т ( 5 )

Если это условие не соблюдается, в исходные данные вкрались грубые ошибки, в результате чего расчёт необходимо повторить.

8. Находят предварительные значения коэффициентовb_i (i = 0,7), вхо -дящих в состав искомой модели объекта. Всего здесь может быть определено до восьми коэффициентов включительно соответственно восьми членам модели предварительного вида:

= b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + b₄X₄ + b₅X₅ + b₆X₆ + b₇X₇ , ( 6 )

где Х₄ = Х₁Х₂ ; X₅ = X₁X₃ ; X₆ = X₂X₃ ; X₇ = Х₁X₂X₃ ,

причём каждое из кодированных значений факторов берут с учётом

его знака, заданного в соответствующих таблицах. Для расчёта коэффициентов b_i используют формулы:

( 7 )

( 8 )

9. Вычисляют оценку общей дисперсии воспроизводимости от-

клика:

D_Y = S / N ( 9 )

10. Находят оценки дисперсии найденных коэффициентов:

D_bi = D_Y / ( П∙ N ) ( 10 )

11. Рассчитывают границы доверительного интервала определе-

ния каждого из коэффициентов модели:

(11)

где t_T- теоретическое (табличное) значение критерия Стьюдента,которое при= 0,95 и числе степеней свободыf=N·(П- 1 ) можно найти в

[ 2 ], с.226, приложение 2 или [3], c. 85, приложение 1. По доверительному интервалу проверяют значимость коэффициентов модели. Значимым признается коэффициент, абсолютное значение которого превышает соответствующую границу доверительного интервала. В противном случае коэффициент признаётся статистически незначимым.Обычно незначимыми оказываются достаточно малые коэффициенты, определённые со значительной ошибкой вследствие разброса экспериментальных данных. Незначимые коэффициенты следует обнулить.

12. Проверяют адекватность полученной математической модели. Понятие адекватности объяснено в [ 2 ], с.142. Адекватная модель является точной в пределах принятых статистических критериев. В противном случае она носит приближённый характер. Для проверки используют экспериментальное значение критерия Фишера:

F_э = D_ад / D_Y , ( 12 )

в выражении которого дисперсия адекватности:

( 13 )

где L - число членов уравнения модели, оставшихся после оценки значимости коэффициентов b_i , включая свободный член b₀;

- "модельное" значение отклика в u - й строке матрицы, рассчитанное по уравнению модели.

Для суждения об адекватности модели из [ 2 ], с.228, приложение 5

или [3], c. 86, приложение 2 выбирают теоретическое (табличное) значение критерия Фишера F_т при доверительной вероятности 0,95 и числах степеней свободы f₁ = N - L и f₂ = N( П - 1 ).

Условие адекватности математической модели объекта исследования:

F_э  F_т ( 14 )

Заметим, что при N = L знаменатель формулы (13 ) обращается в

ноль. При этом проверить адекватность модели описанным способом нельзя.

В этом случае студент должен описать другую методику оценки адекватности модели [ 2 ], с.143.

Дальнейшие (при необходимости) действия исследователя, направленные на достижение адекватности математической модели объекта, описаны в [ 2 ], с.14З; 151...158.

Если пренебречь эффектами взаимодействия факторов, то в безразмерном выражении самым сильным фактором X_i оказывается тот, при котором находится наибольший по абсолютному значению коэффициент b_i.. Однако с тем, чтобы довеcти исследование до конца, необходимо сравнить силу и направление воздействия на отклик объекта всех факторов _iв натуральном выражении. Для этого можно воспользоваться соотношением:

X_i = ( x_i - x_0i ) / x_i , ( 15 )

в котором x_0i - основной уровень фактора,

x_i - интервал варьирования фактора в процессе эксперимента.

Отсюда сравнению подлежат эффекты изменений факторов на

x_i - x_0i = 1, то есть на одну единицу измерения, и критерием сравнительной силы воздействия отдельных факторов, взятых в натуральном выражении, служит формула:

y_i = b_i X_i = b_i / x_i , (16 )

где y_i - изменение отклика объекта, соответствующее изменению рассматриваемого фактора на одну единицу измерения.