Лабораторная работа № 9 Оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика

Цель работы: Приобретение студентом практических навыков работы по методу крутого восхождения (методу Бокса – Уилсона) с помощью специально разработанного тренажера.

Краткое теоретическое содержание работы

Основополагающие принципы рассматриваемого поискового метода экспериментальной оптимизации объектов достаточно подробно изложены в основной рекомендованной литературе [2], [3].

Для реализации данного метода необходимо использовать результаты выполненных ранее лабораторных работ №№5, 6, по материалам которых строятся математические модели исследуемых объектов. Здесь эти материалы используются в качестве подготовительного этапа для собственно оптимизации объекта путем сравнения результатов опытов на линии градиента и поиска экстремума поверхности отклика.

Методические указания к выполнению работы

Сущность и практику применения рассматриваемого метода оптимизации можно наглядно представить с помощью современных компьютерных технологий (см. файл Тренажер1. xls).

Контрольный пример

На экране монитора после запуска этого файла в работу отражены кодированные значения факторов Х₁, Х₂ (которые для возможности графического отображения взяты в количестве только двух) в матрице плана ПФЭ типа 2² и соответствующие экспериментальные значения отклика Y объекта – см. блок данных Т9:Х12. На границе факторного пространства Х₁, 0, Х₂ показаны четыре опыта ПФЭ с соответствующими их координатами – точки 1), 2), 3) и 4).

По результатам опытов построена математическая модель (U15:Х15), коэффициенты которой составили b₀ = 85; b₁ = 4; b₂ = 6 в отвлеченных числах.

Вычислены модельные значения отклика (диапазон Х8:Х12).

Известными из теории вопроса действиями определяем градиент как вектор OG, где координаты точки G соответствуют значениям Х₁ = b₁ = 4; Х₂ = b₂ = 6.

Блок S21: АА25 отведен для тренировки в осуществлении поиска искомого max Y. Ось Y из точки Х₁ = 0; Х₂ = 0 здесь расположена перпендикулярно к плоскости экрана.

Поверхность отклика имитирована моделью второго порядка и от студента скрыта.

Задача заключается в том, чтобы путем пошагового изменения значений факторов Х₁ и Х₂ найти такое их сочетание на линии градиента, которое обеспечивает max Y.

Перед решением контрольного примера студент должен в ячейку W2 ввести код варианта N = 0.

Обращаясь к блоку данных S21: АА25, видим, что наш мысленный опыт №1 при Х₁ = 0,5; Х₂ = 0,7 (см. пунктир на графике) дал результат Y = 92,46.

Увеличивая значение Х₁ как базового фактора с шагом 0,5, поставим следующий опыт №2 в точке с координатами Х₁ = 1,0; Х₂ = 1,5. Чтобы получить экспериментальный Y и модельный результаты опытов, скопируем (например, перетаскиванием табличной ячейкиExcel за малый черный квадрат в правом нижнем углу курсорной рамки) информацию ячейки U24 в ячейку V24, а из ячейки U25 в ячейку V25. Замечаем, что экспериментальное значение отклика объекта Y возросло с 92,46 условных единиц измерения до 96,75. Отсюда можно сделать вывод о том, что мы на правильном пути, и следующий опыт (№3) следует поставить при X₁ = 1,5; Х₂ = 2,25. В результате копирования ячеек V24 в W24 и V25 в W25 замечаем, что экспериментальное значение Y продолжает возрастать. Следовательно, процесс поиска оптимума следует продолжать в том же направлении.

Следует обратить внимание на то, что экспериментальные значения Y, достигнув экстремума, начинают изменяться в противоположном направлении, в то время как модельные значения продолжают монотонно изменяться в соответствии со своей линейной моделью. В этом проявляется снижение адекватности математической модели по мере удаления от области её определения.

Студенту дается возможность продолжить поиск самостоятельно до получения конечного результата, который нужно представить в отчёте.

В дальнейшем каждый студент выполняет работу по индивидуальному варианту, номер которого определяется как сумма последней и предпоследней цифр студенческого шифра.

Полученные данные представляются в отчёте.