Глава III. Математическое обеспечение метрологического контроля

§11. Первичная обработка спортивных показателей

В математической статистике исследуются утверждения, которые могут быть сделаны на основе измерений некоторой величины. Если выборка объёма n содержит l различных элементов х: х1,х2, х3,…хl, причём хi встречается mi раз, то число mi называют частотой элемента xi, а сумма частот равна объёму

выборки. Также рассматриваются величины	fi = mi	–
	n

относительные частоты элементов xi.

Данные измерений записывают в виде вариационного или статистического ряда. Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы xi, а вторая – их частоты mi

(относительные частоты fi = mni ).

В том случае, когда выборка достаточно большая, применяют метод группировки. Для этого диапазон колебаний признака разбивают чаще всего на равные интервалы, длину h которых определяют по формуле:

h = хmax − xmin

k

Для определения примерного количества интервалов весь ряд распределения группируют. Для этого применяют формулу Стерджесса:

k= 1+3,322 lg n

Рассмотрим это на примере высоты выпрыгивания вверх по Абалакову у юных волейболистов (n=35). Были получены следующие результаты: 53, 48, 48, 53, 52, 53, 48, 56, 50, 52, 50,

49, 51, 62, 58, 52, 56, 54, 45, 58, 47, 44, 50, 52, 59, 45, 60, 49, 39,

55, 48, 47, 55, 51, 54 см.

Для группирования по таблице десятичных логарифмов находим

lg 35=1,544

61

Подставляем в формулу Стерджесса и получаем k=6,13, которую округляем до 6. Таким образом, получили, что в нашем случае будет 6 интервалов. Далее по приведённой выше формуле находим длину интервалов

h=(62-39)/6=3,75,

которую округляем до 4. При формировании первого интервала рекомендуется от минимального значения отступить половину интервала. Таким образом, в нашем случае первый интервал будет начинаться с величины (назовём его x0):

x0=39-4/2=37

В первый интервал попадут числа 37<x≤41, во второй –

41<x≤45, и т. д.

Общее количество интервалов получилось больше, чем мы рассчитали, но это связано с округлением чисел при вычислении, и, как было сказано выше, расчёты дают приближённое число этих интервалов.

Теперь подсчитаем наблюдения, попавшие в тот или иной интервал, записав их в таблицу.

Границы разрядов, см	Частоты
37-41	1
41-45	3
45-49	8
49-53	12
53-57	6
57-61	4
Свыше 61	1
	35

Такая таблица называется интервальным рядом распределения и показывает, как распределены различные значения исследуемых величин и как часто они встречаются.

Наглядно представить распределение совокупности можно в графической форме. Как правило, применяются две

62

разновидности: полигон частот (или относительных частот) и гистограмма.

При построении полигона частот по оси абсцисс отмечаются середины границ интервалов, а по оси ординат частоты встречаемости. Полученные точки соединяем отрезками, которые и образуют ломаную – полигон частот.

	14
	12
	10
частота	8
	6
	4
	2
	0	43	47	51	55	59	63
	39							1
				см
Рис. 19. Полигон частот прыжка вверх по Абалакову юных волейболистов
				(n=35)

При построении гистограммы на оси абсцисс указываются границы интервалов, на которых располагаются прямоугольники. Высота их равна частоте встречаемости этого интервала, делённой на произведение объёма выборки и длины интервала (рис. 20).

Из способа построения гистограммы следует, что полная её площадь равна единице, что позволяет «сглаживать» гистограмму и по ней приближённо находить классический закон распределения.

63