у

1

σ 2π

y = f(x)

0	а-σ	а	а+σ	х
Рис. 24. Кривая нормального распределения

+∞

∫ f (r)dx =1, f (a) – max

−∞

x1 = а – σ, x2 = а + σ – точки перегиба.

В математической статистике фундаментальное значение имеет так называемое правило трёх сигм.

Правило трех сигм.

Найдем вероятность того, что распределенная нормально случайная величина х находится на промежутке ] α, β [ .

1

β

−

( x−a )2

x −a

= t

1

β

−

t2

β −a

α −a

∫e

2

∫e

P{α < x < β} =

2σ

dx =

σ

=

2 dt = Φ

−Φ

,

σ

σ

σ

2π α

dx =σdt

2π α

где Ф – табличная функция Лапласа.

P{a −σ < x < a +σ} = 2Φ(1) ≈ 2 0,341 = 0,682;

P{a −2σ < x < a + 2σ} = 2Φ(2) ≈ 2 0,477 = 0,954;

P{a −3σ < x < a +3σ} = 2Φ(3) ≈ 2 0,499 = 0,998,

То есть можно считать практически достоверным, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, находится на интервале ]a–3σ, a + 3σ[.

78

Рис. 25. Кривая нормированного распределения

На данном графике по оси абсцисс представлено так называемое нормированное (стандартизированное) отклонение

t =	x − a	, а по оси ординат - плотности распределения:	y =		1		е−	t2
								2
	σ				2π

Параметры нормированного отклонения a = 0, σ=1. Особенности кривой нормального распределения

заключаются в следующем:

•кривая имеет симметричное распределение относительно выборочной средней, причём x = Mo = Me ;

•кривая асимптотически приближается к оси абсцисс;

•криволинейная площадь под кривой, ограниченная ординатами x ±σ , равна 0,683 (заштрихованная область), то есть 68,3% всех исследуемых единиц отклоняется от средней арифметической не более чем на 1 стандартное отклонение. В

промежутке от	x − 2σ до x + 2σ находится	95,4%	единиц
совокупности, а	в промежутке от x −3σ до	x + 3σ	– 99,8%
наблюдений.

Для установления вида эмпирического распределения сравнивают наблюдаемые и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Порядок расчёта теоретических частот распределения.

1.Находим выборочную среднюю ( x ) вариационного ряда и стандартное отклонение (σ):

79