x =	∑xi mi	, и σ =		∑(xi − x)2 mi
		∑mi			i
					∑mi
					i

2. Находим нормированное отклонение каждого варианта

t= xi σ− x .

3.По таблице распределения функцииϕ находим значения ϕ(t) . Причём найденные значения должны всегда быть положительными.

4. Вычисляем теоретические частоты по формуле: m′ = nhσk ϕ(t) , где n-объём выборки, а hk- ширина интервала.

Покажем порядок расчёта теоретических частот распределения m´ на тестировании (по Абалакову) выпрыгивания вверх волейболистов.

Диапазоны	Эмпир.	xi	mixi	(xi-x)2mi	t	ϕ(t)	mi'	≈ mi'
	частоты mi
37-41	1	39,5	39,5	139,24	2,305	0,0277	0,75763	1
41-45	3	43,5	130,5	182,52	1,524	0,1257	3,43805	3
45-49	8	47,5	380	115,52	0,742	0,3034	8,29837	8
49-53	12	51,5	618	0,48	0,039	0,3986	10,9022	11
53-57	6	54,5	327	61,44	0,625	0,3271	8,94659	9
57-61	4	59,5	238	268,96	1,602	0,1109	3,03326	3
61-65	1	63,5	63,5	148,84	2,383	0,0235	0,64276	1
	35		1796,5	917				36

Разница в сумме теоретических и эмпирических частот образовалась за счёт округления полученных величин.

§14. Метод доверительных интервалов

Точечные оценки дают приближённое значение неизвестного параметра. Если известен закон распределения оценки или её дисперсия, то можно указать пределы, в которых с большой вероятностью находится неизвестное значение параметра.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью α покрывает оцениваемый параметр.

80

Для оценки математического ожидания а случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении σ служит

доверительный интервал x −t σn < a < x + t σn ,

где t σn =δ – точность оценки, п – объем выборки, x –

выборочное среднее, t – аргумент функции Лапласа, при котором

Φ(t) = α2 .

Если среднее квадратическое отклонение σ неизвестно, то для оценки M[X]=a служит доверительный интервал

x −t	s			< a < x + t		s			,
α		n			α n

где tα находится в таблице по заданным п и α, а вместо s часто можно подставить любую из оценок

s =	1 ∑(xi − x)2		mi ,	s =	1 ∑(xi − x)2	mi
		n			n
					n i=1
	n −1	i=1

– исправленное среднеквадратическое, статистическое среднеквадратическое отклонения соответственно. При увеличении п обе оценки s и s будут различаться сколь угодно мало и будут сходиться по вероятностям к одной и той же величине σ.

Заметим, что доверительный интервал зависит от объёма выборки и дисперсии наблюдений. Увеличение объёма выборки делает оценку среднего более надежной. Увеличение разброса наблюдаемых значений уменьшает надежность оценки. Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении о нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться ненадёжной. При увеличении объема выборки качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999. Выбор той или иной доверительной вероятности производится исследователем исходя из практических соображений о той мере надёжности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах. Доверительная вероятность 0,95 считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.

81

Покажем это на примере группы футболистов по результатам прыжка вверх (n1=12).

	xi		47	54		55					56		58		59		60		62		64			68
	mi		1	1		1					1		2		1		1		1		2			1
			Найдем доверительный интервал для оценок с
	надежностью 0,9 и 0,95.
			Вычисленная				выборочная							средняя			равна			x =58,8				см,
	статистическое среднеквадратическое отклонение:
			n						1
	s =	1 ∑(xi − x)2 mi				=					[(−11,8)2		1 + (−4,8)2 +... + 3,22						2 + 9,22 1] ≈5,3
							12
		n i=1
			Из таблицы приложения 5 находим, что t0,9																=1,78, t0,95 = 2,18 .

Подставляя полученные результаты в формулу, получаем доверительный интервал: 55,9 < a < 61,6 и 55,2 < a < 62,3, для доверительной вероятности 0,9 и 0,95 соответственно.

прыжок, см

	63
	62
	61
	60
	59
	58
	57
	56												Средняя = 58,8
	55
													±0,9 Дов. интервал = (55,9; 61,6)
	54												±0,95 Дов. интервал = (55,2; 62,3)
		Футбол

Рис. 26. Доверительные интервалы для групп юных футболистов

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее генеральной совокупности х, называется доверительным интервалом. Кроме того, в математической статистике существует некоторое малое число α, значение которого предполагает вероятность того, что х выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с принятыми доверительными вероятностями,α 1= (1- 0,95) = 0,05;

α2 = (1 - 0,99) = 0,01; α3 = (1-0,999) = 0, 001.

82