переменных или факторов. Часто множественная линейная корреляция возникает, когда между несколькими независимыми переменными (X2, X3, … Xi) и зависимой (X1) переменной имеются линейные связи.

X1 = a +b2 X 2 +b3 X 3 +... +bi X i

где b2, b3, bi – частные коэффициенты уравнения регрессии, так называемые нестандартизированные. Коэффициент b2 показывает на сколько изменится зависимая переменная (Х1) при изменении Х2 на единицу и неизменности Х3 и Хi. Коэффициент b3 показывает на сколько изменится X1 при изменении Х3 на единицу и неизменности Хi.

Частные коэффициенты регрессии находят по следующим формулам

b =			s1			β			;						b =		s1			β		;						b =		s1		β		i ,
2			s2				2								3			s3			3							i		si
где β – стандартизированные коэффициенты, которые могут
быть найдены решением системы уравнений:
							β		2	+ r23 β3					+ r24 β4				+... + r2i βi									= r12
								r		β		2	+ β	3	+ r	β		4	+...				+ r			β	i	= r
							23																3i					13
							*******************
								r2i β2					+ r3i β3 + r4i β4 +... + βi
																												= r1i
Решив систему уравнений, находим, что
	β			=				(r r −r )(r 2								−1) −(r r −r )(r 2															−1)
			2						12			23	13		24								24	23				34	23
												(r 2 −1)(r				2		−1) −(r							r			−r )2
													23		24								23			24		34
β		=			(r r −r )(r r −r ) −(r r −r )(r 2																												−1)
	3						12		23				13		23 24				34				12			24		14			23
								(r			r		−r		)(r	r		−r					) −(r 2					−1)(r 2			−1)
									24			23	13		23	24					34					24			23

Рассмотрим это на примере рейтингов (Х1) юных хоккеистов (n=63) команды «Локомотив» получившихся в результате тестирования [4]. Для этого из шести тестовых величин возьмем три: прыжок в длину с места (X2), кистевую динамометрию (X3) и результат в челночном беге (X4).

116

Рассчитав стандартизированные коэффициенты, применяя вышеописанные формулы, находим, чтоβ 2=-0,43, β3=-0,35,

β4=0,35.Получили следующую формулу множественной линейной регрессии:

Х1=31,09-1,68X2-1,31X3-8,25X4±10,7

Из этого следует, что при изменении результата в прыжке на 1 см при неизменных величинах в динамометрии и челноке, рейтинг изменится в среднем на 1,68 ступени. При изменении результата в динамометрии на 1 даН рейтинг изменится на 1,31 ступени, при неизменных показателях в прыжке и челноке, и при улучшении результата в челночном беге на 1 с рейтинг повысится в среднем на 8,25 ступеней. Уравнение можно записать вместе со стандартной ошибкой (±S) показывающей 68,3% колебаний вокруг поверхности регрессии. То есть в нашем случае у⅔ всех участвовавших в тестировании детей рейтинг не будет отличаться от рассчитанного по формуле более чем на 10,7 ступени.

Полученный при вычислении коэффициент множественной корреляции получился R1.234=0,82, а детерминация D1.234=0,68. Таким образом, вариация рейтинга юного хоккеиста на 68% объясняется совокупным влиянием результатов в челночном беге, кистевой динамометрии и дальности прыжка.

При оценке влияния независимых переменных на зависимую переменную можно оценить их вклад в это влияние при помощи коэффициентов частной детерминации.

D1.234= d12.34 + d13.24 + d14.23, где d12.34 = β2r12; d13.24 = β3r13; d14.23 = β4r14

Следует обратить внимание, что этими формулами (8) можно пользоваться, если β-коэффициенты и соответствующие им коэффициенты корреляции имеют одинаковые знаки. В противном случае относительное влияние переменных можно оценить непосредственно по абсолютной величине β - коэффициентов, которые показывают, на какую часть сигмы σ)( изменилось бы значение результата при изменении переменной на сигму, при неизменности прочих переменных.

117

Найдём парные коэффициенты корреляции между указанными переменными и запишем их в матрицу:

Рейтинг 1		− 0,68	− 0,55	0,56
		1	0,34	− 0,36
Прыжок
Динам.			1	− 0,16
Челнок				1

Подставив полученные результаты в уравнение (11), получаем, что

d12.34 = -0,68β2 ; d13.24 = -0,55β3; d14.23 = 0,56β4

Таким образом, на долю результата в прыжке приходится 29,3% вариации рейтинга, на долю динамометрии≈19,3 %, и на результат в челноке – ≈19,6%.

§21. Корреляционное отношение и эффективность тренировочного процесса

Как отмечалось выше, коэффициенты корреляции хорошо характеризуют связи только лишь в случае линейной зависимости, в противном случае они дают искажённое представление о степени тесноты. При криволинейной регрессии лучше оценить тесноту взаимосвязи при помощи корреляционного отношения.

Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят выборочные корреляционные отношения. Выборочным корреляционным отношением Y к Х называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y:

	η =	∑nx (yx − y)2
		∑(y − y)2

ηух =σмежгрх σобщ , или в других обозначениях

ηух =σ у*х σ*у .

Таким образом, если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку и для этих групп известны (или могут быть вычислены) основные характеристики, то нередко требуется оценить вариации показателей объединений

118

совокупности на основе показателей отдельных групп. Так,

отношение δ 2 σобщ2 называется коэффициентом детерминации η2 и показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству

0≤η ≤1,

иесли η = 0, то признак Y c признаком Х корреляционной зависимостью не связан, а если η = 1, то признак Y связан c признаком Х функциональной зависимостью.

Вкачестве примера рассмотрим вычисления эмпирического корреляционного отношения взаимосвязи такого важного показателя как максимальное потребление кислорода (МПК) и возраст у юных футболистов.

Год тестирования	Числ. группы	МПК/кг	Дисперсия
2005	19	68,18	52,19
2006	16	67,08	53,35
2007	19	48,49	68,25
2008	17	50,63	40,71
Итого	71	58,59

Найдем среднюю величину МПК/кг по четырём возрастным группам:

общ =

∑xj N j

=

68,18 19 + 67,08 16 + 48,49 19 + 50,63 17 =58,59 .

x

j

∑N j

71

j

Вариация

МПК/кг

характеризуется

межгрупповой

дисперсией:

∑(

j −

общ )2 N j

x

x

δ 2 =

j

=

∑N j

j

= (68,18 −58,59)2

19 + (67,08 −58,59)2 16 + + (50,63 −58,59)2 17 ≈83,31

71

119