Глава 4 ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
		4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Аннуитет	является	последовательностью		периодических платежей,
обычно одинаковых,		сделанных	через	одинаковые промежутки
времени.	Наиболее	известными	примерами аннуитетов являются
платежи	премий страхования жизни, платежи рассрочки, платежи ренты
и т.д.

Период времени между двумя последовательными платежами называется интервалом платежа и может быть любой удобной продолжительности. Первоначально слово аннуитет относилось только к ежегодным платежам, но современное использование этого термина может предусматривать интервалы платежа любой продолжительности.

Сроком	аннуитета является время	от начала первого интервала
платежа	до окончания последнего	интервала платежа. Когда срок

аннуитета фиксирован, то есть когда срок начинается и заканчивается в определенные даты, аннуитет называется определенным

(детерминированным) аннуитетом. Когда срок аннуитета зависит от некоторого неопределенного события, такого как смерть человека,

аннуитет называется зависимым (случайным) аннуитетом.

Когда платежи производятся в моменты окончания интервалов платежа,

аннуитет называется обыкновенным	аннуитетом. Когда	платежи
производятся в начальные моменты	интервалов платежа,	аннуитет

называется полагающимся аннуитетом. В дальнейшем, следуя принятой на практике традиции, слово аннуитет будет означать обыкновенный аннуитет, если не оговорено другое.

Предположим, что Иванов покупает автомобиль в рассрочку, выплачивая наличными 3 млн рб в день покупки и затем ежемесячно 1 млн рб в течение 24 месяцев, первый взнос по истечению 1 месяца после даты продажи. Ежемесячные взносы составляют обыкновенный аннуитет, срок которого начинается в день продажи и продолжается в течение двух лет. Интервал платежа равен 1 месяцу.

Все задачи об аннуитетах касаются полной стоимости серии платежей на некоторую заданную дату. Можно было бы рассмотреть все эти

39

задачи методами, развитыми в предшествующих разделах. Однако, используя свойство регулярности платежей аннуитетов, вычисление полной стоимости может быть существенно упрощено.

4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА

Настоящая	стоимость аннуитета определяется		как датированная
сумма, эквивалентная всей серии платежей, на начало			срока аннуитета.
Итоговая	сумма	аннуитета определяется как датированная		сумма,
эквивалентная всей серии платежей аннуитета на конец срока. Таким
образом, настоящая		стоимость обыкновенного аннуитета		является

эквивалентной суммой, выплачиваемой за один период платежа до даты первой выплаты. Итоговая сумма обыкновенного аннуитета является эквивалентной суммой на момент последнего платежа.

Очевидно, что как настоящая стоимость, так и итоговая сумма аннуитета будет зависеть от нормы процента, используемой в уравнении эквивалентности. Так как период начисления процентов не обязательно совпадает с интервалом платежа, удобно классифицировать аннуитеты с учетом этого. Когда интервал платежа совпадает с периодом начисления процентов, аннуитет называется простым аннуитетом: в противном случае он называется общим аннуитетом. В этом разделе рассматриваются только простые аннуитеты.

ПРИМЕР 1 Найти текущую стоимость и итоговую сумму обыкновенного аннуитета, состоящего из пяти полугодовых платежей 10000 рб каждый, если деньги стоят j2 = 4% .

РЕШЕНИЕ Пусть A обозначает настоящую стоимость, а S - итоговую сумму аннуитета. Представим данные на диаграмме

0	1	2	3	4	5
	10000	10000	10000	10000	10000
A					S

Чтобы определить A выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения начало срока аннуитета. Это даст

A= 10000(1,02) -1 + 10000(1,02) -2 + 10000(1,02) -3 +

+10000(1,02) -4 + 10000(1,02) -5 = 47135 рб.

40

Подобным образом, для определения S выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец срока аннуитета. В этом случае

S = 10000 + 10000(1,02) + 10000(1,02) 2 + + 10000(1,02) 3 + 10000(1,02) 4 = 52040 рб.

Способ вычисления

A

и

S ,

использованный

в

примере,

ясно

показывает

различие

в

определениях

настоящей стоимости и

итоговой суммы, но он

является

громоздким

и

неудобным

при

большом

количестве

платежей.

Более компактный

способ расчета

можно

сформулировать,

основываясь на

свойствах

геометрических

прогрессий.

Пусть S будет

итоговой

суммой

обыкновенного

простого аннуитета с

n платежами

по

1

рб

каждый

при

норме процента

i за интервал

платежа и

пусть

A

является настоящей стоимостью этого аннуитета.

Временная

диаграмма платежей аннуитета будет выглядеть следующим

образом

0

1

2

3

4 ...

n-1

n

1

1

1

1 ...

1

1

A

S

Для нахождения S составим уравнение эквивалентности, используя конец срока как дату сравнения. Тогда получим

S = 1 + 1(1 + i) + 1(1 + i) 2 + ... + 1(1 + i) п-1 .

Правая часть равенства является геометрической прогрессией из n членов, первый член равен 1 и знаменатель прогрессии равен (1 + i). Сумма такой прогрессии равна

S

1 i n 1

i

Правая часть этого равенства зависит от n и i и имеет общепринятое обозначение sn i или sn при i , читаемое « s уголок n при i ». Таким

образом,

41

s					s			при i) =	1 i n	1
				(или							.
			i						i
n					n

Если каждая выплата состоит из R рб , тогда итоговая сумма в R раз больше этой и формула для итоговой суммы S приобретает вид

S = R s

i

.

(1)

n

Для

получения настоящей стоимости

A

этого аннуитета заметим, что

A

и S

являются датированными

суммами одной и той же серии

платежей и,

следовательно,

являются эквивалентными суммами. Откуда

следует, что

S = A(1 + i) п или

A = S(1 + i) -п

(2)

Используя (1) в (2), получим

A = R s

(1 + i) -п = R

1 1 i n

.

i

n

i

Общепринятым обозначением является также следующее

а

i = ( а

при i ) = (1 - (1 + i) -п) / i.

n

n

Применение его приводит к следующей формуле для A

A = R а

i

.

(3)

n

Равенства (1),

(2)

и (3) являются основными соотношениями,

устанавливающими связь между величинами

S ,

A и

R . Два новых

обозначения

s

i

и

а

заменяют всю

серию платежей аннуитета

n

n

i

одноразовым платежом в

соответствующую дату. Они

имеют большое

распространение в финансовых расчетах, поэтому

их

величины также

табулированы

для наиболее часто встречающихся значений параметров n

и i .

ПРИМЕР 2 Иванов будет делать вклады на депозит по 25000 рб в конце каждого квартала в банк, который установил норму процента 3% ,

42

конвертируемую поквартально. Какую сумму он будет иметь в банке через 10 лет, если a) он не имел ничего на банковском счете в начальный момент; b) он имел на банковском счете 100000 рб в начальный момент ?

РЕШЕНИЕ a) Представим данные на временной диаграмме

0

1

2

3

...

39

40

25000 25000

25000 ...

25000

25000

S

На диаграмме время измеряется интервалами платежа от 0

до 40 и

S

является

суммой

на

конец

сорокового

интервала платежа,

эквивалентной аннуитету. Так как

R = 25000 рб, i = 0,75% за интервал

платежа и n = 40, мы имеем

S = R s

i

= 25000 s

0,0075

= 25000 × 46,446481 = 1161162

n

40

b) Дополнительную

сумму

100000

рб

следует поместить на

временной диаграмме в начальную точку

0. В этом случае уравнение

эквивалентности имеет вид

S = 100000(1,0075) 40 + 25000 s

0,0075 =

40

= 134835 + 1161162 = 1295997 рб.

ПРИМЕР 3 Петров выплачивает заем, делая платежи

по

5000 рб

в

конце каждых 6 месяцев. Процентная ставка

при получении займа

была установлена равной

j2

= 5,5% . Какой является неуплаченная часть

займа в настоящий момент, если

a)

осталось сделать

30

платежей,

чтобы

полностью возместить заем; b) кроме 30 платежей по 5000 рб

необходим еще один взнос 2000 рб через 6 месяцев ?

РЕШЕНИЕ a) Имеющиеся данные представим на диаграмме

0

1

2

3

...

29

30

(31)

5000

5000

5000

...

5000

5000 (2000)

A

43