R = W / а m p i = 50 / а 3 5 % = 50 0,36720856 = 18,360428

Настоящая стоимость ренты теперь дается равенством (1)

A = R/i = 18,360428 / 0,05 = 367,2086 млн рб .

7.3 ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
Когда впервые описывались общие аннуитеты, отмечалось,						что они могут
анализироваться	путем	замены	данной	нормы		процента на
эквивалентную норму, согласованную с частотой платежей,							становясь,
таким образом,	простыми	аннуитетами. Однако недостатком такого
подхода был тот факт,		что новая	норма	обычно		оказывается
нетабулируемой	и появляются трудности в			оценивании			функций
составных платежей аннуитета. Так как оценивание					простой		ренты не
требует знания	функций	составных	платежей,		этот		недостаток

исчезает. Таким образом, другой способ анализа общих вечных рент

является следующим : общая вечная					рента преобразовывается			в
простую вечную	ренту		заменой	данной		нормы	процента	на
эквивалентную	норму,		согласованную		с	частотой платежей.
Проиллюстрируем этот подход на примерах.
ПРИМЕР 1 Решить пример 2 параграфа					7.1	путем	замены данной
годовой нормы на эквивалентную месячную норму.
РЕШЕНИЕ Пусть	i	обозначает месячную			норму, эквивалентную 3%
годовых. Тогда
(1 + i) 12		= 1,03 ,	1 + i = (1,03) 1/12 = 1,00246627 .
		i = 0,00246627 в месяц.

Теперь мы имеем обыкновенную простую ренту, состоящую из платежей по 1 млн рб в месяц при месячной норме процента i = 0,00246627. Поэтому (как и раньше)

A = R/i = 1/0,00246627 = 405,4706 млн рб.

ПРИМЕР 2 Решить пример из параграфа 7.2 путем замены данной годовой нормы на эквивалентную ренту, соответствующую трехлетнему сроку.

105

РЕШЕНИЕ Пусть i будет нормой, соответствующей трехлетнему сроку, которая эквивалентна 5% годовых. Тогда

1 + i = (1,05) 3 = 1,157625 , i = 0,157625 за 3 года.

Теперь мы имеем простую полагающуюся ренту, состоящую из платежей по 50 млн рб в начале каждого трехлетнего срока и нормой процента i = 0,157625 за этот срок. Поэтому

A = R + R/i = 50 + 50/0,157625 = 367,2086 млн рб.

Сравнение двух использованных методов анализа общей ренты показывает, что метод замены нормы процента формально проще. Главным его недостатком является необходимость применения вычислительных средств.

7.4 КАПИТАЛИЗАЦИЯ Слово капитализация имеет несколько значений. В этой главе оно будет

обозначать процесс	определения	настоящей	стоимости	серии
периодических платежей, которые продолжаются			неограниченно долго.
Таким образом, капитализировать		доход (или	расход) при	данной
норме процента означает найти настоящую стоимость вечной				ренты,
которая будет обеспечивать необходимые платежи. Например,				доход 1

млн рб, полагающийся в конце каждого месяца, капитализированный при 3 процентах, m = 12, равен 400 млн рб, так как эта сумма является настоящей стоимостью вечной ренты, которая будет обеспечивать 1 млн рб в конце каждого месяца, если инвестирована при j12 = 3 процента.

В современной экономической теории капитализация является крайне важным инструментом оценивания различных активов и обязательств, одним из наиболее важных применений является определение капитализированной стоимости инвестиций активов, обычно называемой капитализированной стоимостью. Капитализированная стоимость активов определяется как первоначальная стоимость плюс настоящая стоимость неограниченного числа возобновлений. Настоящая стоимость неограниченного числа возобновлений является текущей стоимостью вечной ренты, которая будет обеспечивать необходимые возобновляемые платежи. Отсюда, если C является первоначальной стоимостью и K является капитализированной стоимостью, тогда

106

	K = C + A ,		(6)
где A	является настоящей стоимостью вечной ренты, необходимой
для возобновляемых платежей,		и определяется равенством (1).	Если
норма	процента такова, что	рента является простой рентой,	R
рассматривается как возобновляемая стоимость и мы имеем
	K = C + R/i .		(7)

Если однако рента является общей рентой, W принимается в качестве возобновляемой стоимости и R , используемое в (7), вычисляется по формуле (2).

ПРИМЕР 1 Промышленная компания первоначально заплатила за сверла 20 млн рб, после чего в конце каждого месяца компания платит по 10 млн рб за возобновление сверл из-за их износа и поломок. Если деньги стоят 4,5 % эффективно, найти капитализированную стоимость сверл.

РЕШЕНИЕ Платежи по 1 млн рб в конце каждого месяца образуют общую ренту. Если R является платежом эквивалентной простой вечной ренты, тогда

R = 1/ s112 4,5% = 1 12,24553306 = 12,245533 млн рб.

K = C + R/i = 2 + 12,245533 / 0,045 = 274,122950 млн рб.

Если первоначальная стоимость C является той же самой, что и стоимость замены, вычисление можно немного упростить путем рассмотрения первоначальной стоимости, как первого платежа полагающейся вечной ренты. Следующий пример иллюстрирует эту возможность.

ПРИМЕР 2 Найти капитализированную стоимость машины, которая стоит 50 млн рб и подлежит замене по той же самой стоимости в конце каждого десятилетнего периода. Деньги стоят 4% эффективно.

РЕШЕНИЕ Представим платежи на временной диаграмме

0		10		20		30		40 ...
50		50		50		50		50 ...
K

107

Эта общая полагающаяся рента с платежами по 50 млн рб может быть заменена простой рентой с платежами R , где

R = W/ аm p i = 50/ а10 4% = 50 0,12329094 = 6,164547 .

Тогда, поскольку K является настоящей стоимостью этой ренты

K = R/i = 6,164547 / 0,04 = 154,11367 млн рб .

В теории капитализации часто встречается термин периодическая инвестиционная стоимость. Периодическая инвестиционная стоимость

активов	определяется	как периодический	процент	на
капитализированную стоимость.		Например, если капитализированная

стоимость активов при j4 = 4% равна 100 млн рб, то поквартальная

инвестиционная стоимость равна 1 млн рб. Таким образом,	если
обозначить периодическую инвестиционную стоимость символом	H ,
тогда
H = Ki = Ci + R ,	(8)
где K , C , R и i имеют тот же смысл, что и ранее.

Периодическая инвестиционная стоимость имеет более простую

интерпретацию. Если

K

является

капитализированной стоимостью

активов, тогда K будет сохранять стоимость актива

неограниченно.

С

другой

стороны,

K , инвестированная теперь при норме i , будет давать

Ki , как выплаты процентов, неограниченно. Отсюда если

K

используется

для

сохранения

стоимости

с

определенного актива,

выплаты процентов

Ki

являются

потерянными

как доход и логически

могут рассматриваться как

периодическая инвестиционная

стоимость

собственно активов. Такое

же заключение может быть получено путем

анализа

формулы

H = Ci + R . Слагаемое

Ci

представляет потери

процентов

из-за

того, что собственник использовал деньги

на

приобретение активов,

а не на инвестирование при норме i . Кроме того,

если

W

является стоимостью

замены

активов

в

конце

их

использования, то

R

=

W s

i

, помещаемое

в сберегательный

m p

фонд в конце каждого периода начисления процентов, будет накапливать основную сумму, которая в противном случае была бы потеряна, когда активы достигнут конца своего использования. Таким образом, Ci теряются как процент и выплата R, необходимая для сохранения первоначального капитала нетронутым, содержит реальную

108