Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

2.1 СОСТАВНОЙ ИТОГ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Когда процент периодически добавляется к основной сумме и эта новая

сумма используется, как основная				для следующего временного				периода
и	эта	процедура	повторяется определенное			число	периодов,
окончательный итог называется составным итогом.						Разность		между
составным		итогом и первоначальной основной			суммой		называется
сложным процентом. Период времени					между			двумя
последовательными начислениями				процентов	называется		периодом

начисления процентов или периодом конверсии и может быть установлен любой удобной временной продолжительности. В качестве периода конверсии обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, 6 месяцев или год. Норма процента обычно рассчитывается на годовой основе и при начислении процентов должна изменяться до нормы процента на период инверсии.

ПРИМЕР Найти составной итог в конце 1 года при основной сумме 50000 рб, если при начислении используется норма процента 7%, конвертируемая поквартально.

РЕШЕНИЕ Слова 7%, конвертируемые (или составляемые) поквартально, означают 1,75% за квартал ( 3 месяца ). Таким образом, в конце первого квартала 1,75% от 50000 рб добавляются к основной

сумме, увеличивая ее до итоговой суммы первого						периода	50875 рб.
Эта сумма		является основной для второго периода.				В конце		второго
квартала	к ней добавляются 1,75% от 50875 рб,					давая	новый итог
51765,31 рб в конце второго периода и основную					сумму для третьего
периода.	В	конце третьего		периода к основной сумме этого периода
добавляются		1,75%	от	51765,31 рб процентов		третьего периода,
приводя	к итоговой		сумме 52671,20 рб третьего квартала. И,				наконец, в
конце года 1,75% от 52671,20 рб добавляются к						основной		сумме
четвертого квартала, образуя составной итог года					(четырех квартальных

периодов) 53592,95 рб. Сложный процент за						год равен 3592,95 рб, что на
92,95 рб	больше		суммы, которая получилась бы при использовании
простого процента.
Прямой	метод	начисления		процентов	по	периодам	конверсии,
использованный		в	примере,	является	утомительным,		когда число
				17

периодов становится больше. Поэтому имеет смысл сформулировать более быстрые способы получения итоговой суммы, одинаково удобные для произвольного числа периодов конверсии.

2.2 ОБОЗНАЧЕНИЯ

Будем использовать следующие обозначения :

P - первоначальная основная сумма или настоящая стоимость S . S - составной итог для P , или итог на конец срока.

n - количество процентных периодов (периодов конверсии). m - количество периодов конверсии за 1 год.

j - норма процента, которая конвертируется m раз в году. i - норма процента за период конверсии: всегда i = j/m.

Годовая норма j называется годовой номинальной нормой (ставкой)

или более кратко номинальной ставкой, так как она является нормой, используемой только в рассматриваемой сделке. Норма i = j/m всегда используется при начислении итоговой суммы. Обычно используются следующие версии обозначений номинальной ставки, которые поясним примером : j = 0,15 или ( 15%, m = 3 ) или ( j = 15%, m = 3 ) означают,

что годовая номинальная норма 15% конвертируется 3 раза в год и что i = 0,05 является нормой процента за 4-месячный период.

2.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА СОСТАВНОГО ИТОГА

Если P обозначает основную сумму в начале первого периода начисления процента и i является нормой процента за период конверсии, тогда процент, начисленный в конце первого периода, равен Pi и итог первого периода равен P + Pi или P(1 + i). Таким образом, итог периода конверсии в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода. Подобные рассуждения показывают, что итог в конце любого периода конверсии в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода конверсии, так что итог в конце второго периода равен

P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2 ,

а в конце n периодов конверсии имеем итоговую сумму, равную

S = P(1 + i) n

(1)

Это равенство называется основной формулой сложного процента.

Получение всякого результата, связанного со сложными процентами,

18

прямо или косвенно использует эту формулу. Заметим, что в (1) используется четыре величины, так что если любые три из них известны, четвертая может быть найдена из этого уравнения.

2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТАВНОГО ИТОГА
Когда P, n и i даны, составной итог можно вычислить.	Для наиболее
употребительных целочисленных значений величин n и	i составлены

таблицы выражения (1 + i) п , которое принято называть множителем

накопления. Если такие таблицы имеются под рукой, по ним	находится
требуемый множитель накопления, и он умножается на	величину

основной суммы, что даст необходимый результат : требуемый итог. Таблицы могут не содержать заданных целочисленных значений величин

n	и i , тогда использование таблиц несколько			усложняется,			но является
все-таки возможным.
Предположим, что норма процента i		табулирована,				а значение		n
находится за пределами таблицы. В этом случае следует представить								n
как сумму целочисленных величин n1 и		n2	,	n =	n1 + n2		, таких, что
n1	и n2 табулированы и для каждого		из	них	по	таблице найти
значения соответствующих множителей накопления:					1 i n1		и 1 i n2 .

Перемножение этих множителей и даст требуемый множитель накопления (1 + i) п . Если значение n настолько велико, что не представляется в виде суммы двух табулированных величин, нужно представить его в виде суммы трех, четырех или другого необходимого числа табулируемых величин. Далее определяются множители накопления, соответствующие слагаемым, и необходимый множитель накопления определяется как произведение множителей накопления, найденных из таблицы.

Предположим теперь, что	величина	n табулирована, но норма
процента i принимает	нецелое	значение, промежуточное между

имеющимися в таблице. Тогда можно использовать интерполяцию для получения приближенного значения требуемого множителя накопления.

Она заключается в следующем. Пусть заданная норма	процента i
попадает между соседними в таблице значениями i1 и i2 ,	i1 < i < i2 . Из
этого следует, что для заданного n
(1 + i1 ) п < (1 + i) п < (1 + i2 ) п

Обозначим через X приближенное значение величины (1 + i) п .

19

В этих условиях составляется пропорция для величины X ,

X 1 i1 n		1 i2 n	1 i1	n
				,
i i1		i2	i1

из которой искомая величина X находится в виде :

n

i i

1

n

n

X 1 i1

1

i2

1

i1

i

2

i

i2 i

1

n

i i

n

1 i1

1

1 i2 .

i2 i1

i2 i1

ПРИМЕР Найти приближенное значение итоговой суммы при накоплении процентов основной суммы 10000 рб в течение 20 лет при норме процента i = 5,2%.

РЕШЕНИЕ Из таблицы для множителей накопления имеем :

i	0,055	0,050
(1 + i)20	2,9178	2,6533
В этом случае i1 = 0,050,	i = 0,052,	i2 = 0,055.

(i2 - i)/(i2 - i1) = 3/5 = 0,6 . (i - i1)/(i2 - i1) = 2/5 = 0,4 .

Поэтому приближенное значение X величины (1 + 0,052)20 вычисляется следующим образом

X = ( 0,6 )( 2,6533 ) + ( 0,4 )( 2,9178 ) = 2,7591

Таким образом, итоговая сумма S приблизительно равна

S = 10000 × 2,7591 = 27591 рб.

Когда необходимо найти множитель накопления для значений i и n , которых в таблице нет, приходится вычислять этот множитель непосредственно. При этом удобно вычислить сначала логарифм множителя накопления по формуле

20