0	1	2			3 ...	69	70
0,3		0,3			0,3 ...	0,3 0,3 + 10
В этом случае покупная цена должна быть такой
P = 0,3	a				+ 10 (1,035) -70		=
		7 0		3 , 5 %

= 7,80012 + 0,89986 = 8,700 млн рб .

Так как покупатель не знает, какая серия платежей реализуется, он должен покупать облигацию за наименьшую из этих двух цен, 8,7 млн рб, чтобы быть уверенным, что на его инвестицию реализуются проценты с нормой 7% , m = 2 .

8.4 АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОКУПНОЙ ЦЕНЫ

Хотя формула (1) несложная, ее применение предполагает использование двух таблиц. Несколько проще формула, которую мы теперь получим. Для этого мы напомним, что P является настоящей стоимостью серии платежей, выплачиваемых на облигацию, при норме i . Представим эти платежи на временной диаграмме

0 1	2	3 ... n-1	n
R	R	R ... R	R+C
P

С другой стороны, сумма C , инвестированная в момент начала этой серии, при норме i обеспечивает платежи процентов Ci в конце каждого периода начисления в течение n периодов и заключительный платеж C в конце последнего периода. Эти платежи также представим на временной диаграмме

0 1

2

3 ... n-1 n

Ci Ci Ci ... Ci Ci+C

C

Полагая финансовые результаты платежей на приведенных диаграммах одинаковыми, вычтем платежи второй диаграммы из платежей первой диаграммы, что приведет к следующей временной диаграмме

117

0		1		2		3		...	n-1		n
P-C		R-Ci		R-Ci		R-Ci		...	R-Ci		R-Ci

Равенство стоимостей теперь дает P-C = (R - Ci) a n i или

P = C + (R - Ci) a n i .

Эта формула может быть получена также из использовать тождество (1 + i) -п = 1 - i a n i

множителя (1 + i) -п .

(2)

(1) аналитически, если для исключения из (1)

Анализ формулы (2) показывает,

что если R = Ci , покупная цена

облигации совпадает с выкупной ценой; если

R больше, чем Ci ,

покупная цена больше выкупной цены; если же R

меньше,

чем Ci ,

то

R - Ci

является отрицательной и покупная цена меньше выкупной

цены.

ПРИМЕР 1

Решить

пример

2

предшествующего

параграфа

с

использованием формулы (2).

РЕШЕНИЕ

Если облигация отзывается в заданную дату отзыва, C = 11,

R = Fr = 10 0,03 = 0,3 ,

Ci = 11 0,35

= 0,385 ,

n = 50 . Формула (2)

тогда дает

P = 11 + (0,3 - 0,385) a

= 11 - 1,9937 = 9,0063

5 0

3 ,5 %

Если облигация не отзывается, то

C = 10 , Ci = 0,35 , R = 0,3 , n = 70 .

В этом случае

P = 10 + (0,3 - 0,35) a

= 10 - 1,3 = 8,70 млн рб ,

7 0

3 ,5 %

Мы получили такие же значения

P ,

как и в

случае использования

равенства (1).

Конечно, несущественно, которая из формул используется для определения покупной цены облигации. Формула (1) кажется более естественной и ее легче запомнить, однако формула (2) проще в

118

вычислительном отношении, так как предполагает использование только таблицы для функции a n i .

В рассмотренных примерах мы столкнулись только со случаем, когда по облигации выплачиваются проценты с такой же частотой, с какой они

начисляются,	то есть	платежи	образуют	обыкновенный	простой
аннуитет. Очевидно, что		это имеет	место не всегда. Когда период
начисления	процентов отличается от		периода	их выплаты	так, что

процентные платежи облигации образуют общий аннуитет, тогда общий аннуитет преобразуется в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет при помощи ранее рассмотренных методов и применение

формул (1)	или (2) позволяет определить покупную цену облигации.
Рассмотрим эту процедуру на примере.
ПРИМЕР 2	Облигация на 10 млн рб, по		которой выплачивается
процент с нормой 5% ,		m =2 , будет выкупаться за	10,5 млн рб через 15
лет. Найти	покупную	цену, эквивалентную инвестиции денег с нормой
a) 4% , m = 1, b) 4% , m = 4.

РЕШЕНИЕ a) Процентные платежи за облигацию по 250 тыс рб образуют общий аннуитет с W = 250 , p = 2 , i = 0,04 , m = 1. Использование формулы (6) параграфа 5.2 дает

R = 250/ s1 2 4 % = 250 2,0198039 = 504,951 тыс рб

как эквивалентный ежегодный платеж аннуитета. Покупная цена теперь находится путем использования формулы (1) или (2) . Применяя, например, формулу (1), получим

P = 0,504951 a 1 5 4 % + 10,5(1,04) -15 = 11,4445 млн рб.

b) Процентные платежи по облигации теперь образуют общий аннуитет с W = 0,25 , p =2 , i =0,01 , m = 4. Повторяя процедуру вычислений, как в случае a), имеем

R = 0,25/ s2 1 % = 0,25 0,49751244 = 0,124378 млн рб

как платежи эквивалентного поквартального аннуитета. Теперь, используя для вычисления покупной цены формулу (2), мы получим

119

P = 10,5 + (0,124378 - 0,105) a 6 0 1 % = 11,3711 млн рб.

Когда облигация продается в день выплаты процентов по облигации, выплачиваемый процент считается собственностью продавца, так что покупатель покупает только будущие выплаты по облигации. Поэтому платежи процентов по облигации, которые получит покупатель, всегда образуют обыкновенный аннуитет (простой или общий) и можно использовать методы, применявшиеся ранее. Случай приобретения облигации между датами выплаты процентов по облигации будет рассмотрен позже.

8.5 ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

Формулы для покупной цены (1) и (2) были получены для облигаций, покупаемых в день начисления процентов, когда продавец удерживает процентные платежи этого дня, а покупатель получает контракт, содержащий все будущие платежи за облигацию. Очевидно, облигации могут продаваться и покупаются в произвольные дни. Следовательно, нам необходим способ определения стоимости облигации между датами начисления процентов по облигации.

Как мы видели, реальная			стоимость		облигации зависит			от нормы
процентов, которая приносит доход,					и от того покупается ли она в
день начисления процентов			или	нет.	Предположим,		что	облигация
покупается	между	датами начисления				процентов по ней с целью
получения инвестором процентов				с нормой		i . Пусть	P0 представляет

покупную цену облигации на предшествующую дату начисления процентов, обеспечивающую норму процента i ; пусть f будет дробной частью периода начисления процентов, которая истекла с момента предшествующей даты начисления; пусть также P будет стоимостью облигации на день продажи. Тогда P0 и P являются стоимостями одного и того же контракта на различные даты и поэтому являются эквивалентными. Поэтому уравнение эквивалентности нам дает формулу

P = P0 (1 + i) f

(3)

для точной стоимости облигации на дату продажи.

120

Ранее мы говорили, что когда рассматривается дробная часть периода начисления, для аппроксимации точного результата может применяться приближенная формула, основанная на использовании простого процента вместо сложного. Тогда

	P = P0 (1 + if)			(4)
дает приближенную стоимость облигации P .
На практике обычно используют (4)		и мы	будем	следовать этому
обычаю, если не будет	оговорено противное.		Обычно принято также
вычислять временной	множитель	f приближенным способом, то есть
в предположении, что год состоит из 12 месяцев по 30				дней каждый.

ПРИМЕР 1 Найти покупную цену на 16 июня 1990 г. для облигации с лицевой стоимостью 10 млн рб, выкупаемую по номинальной стоимости 1 октября 2015 г., и предусматривающую проценты с нормой 6% , m = 2.

РЕШЕНИЕ Предшествующая дата начисления процентов по облигации 1 апреля 1990 г. Число периодов начисления от этой даты до даты выкупа равно 51. Поэтому стоимость облигации на 1 апреля 1990 г. равна

P0 = 10 + (0,35 - 0,30) a 5 1 3 % = 10 + 1,2976 = 11,2976 млн рб

Считая по 30 дней в каждом месяце, определяем срок от 1 апреля по 16 июня равным 75 дней, так что f = 75/180 = 5/12 . Формула (4) тогда дает

P = 11,2976 (1 + 0,03 (5/12)) = 11,2976 × 1,0125 = 11,4388 млн рб

Если бы мы применяли формулу (3) для вычисления точной стоимости, мы бы получили

P = 11,2976 (1,03) 5/12 = 11,2976 × 1,01239 = 11,4376 млн рб

Разница этих двух результатов равна 1200 рб ( 0,0105 % ).

Другой	способ получения	приближенного	значения P следующий.
Пусть	P0 имеет то же самое	значение, что	и ранее, и пусть P1 будет

покупной ценой облигации на предстоящую дату начисления процентов. В день предстоящего начисления процента будет произведена выплата

121