Преобразуем эти две суммы к трем датам сравнения в соответствии с правилами эквивалентности и результаты сведем в таблицу, тогда получим

			Настоящее	Через		Через
	Суммы		время	2 года		6 лет
	Первое обязательство		19626,43	22089,72		27982,60
	Второе обязательство		7013,80	7894,09		10000,00
	Разности		12612,63	14195,63		17982,60
Можно проверить, что		разности эквивалентны			при норме процента
j2 = 6% , учитывая следующие равенства :
12612,63 × (1,03) 4		= 14195,63 ,
14195,63 × (1,03) 8		= 17982,60 .

3.3 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЕРИИ ПЛАТЕЖЕЙ

Одной из наиболее важных проблем в математике финансов является замена данной серии платежей или других обязательств на эквивалентную серию. Например, холодильник стоит 3 млн рб. наличными. Однако его можно купить при помощи эквивалентной серии небольших ежемесячных платежей.

Ранее мы рассматривали датированную сумму серии платежей или обязательств. При этом было видно, что сумма серии зависела от используемой нормы процента и даты, на которую вычислялась сумма. На основе правила эквивалентности для таких серий можно сформулировать следующее утверждение : при данной норме сложного процента две серии платежей являются эквивалентными, если датированные суммы этих серий на любую общую дату являются равными. Таким образом, если стоимость холодильника равна 3 млн рб , любая серия платежей, использованная при его покупке должна иметь стоимость на настоящий момент ( текущую стоимость ) 3 млн рб. Равенство, устанавливающее, что датированные суммы двух серий на общую дату равны, называется

уравнением эквивалентности или равенством стоимостей. Дата,

используемая в этом равенстве, называется датой сравнения. Из свойства 1 следует, что в качестве даты сравнения может быть использована любая дата.

32

ПРИМЕР 1 Петров имеет два векселя,			подписанные Ивановым, один с
датой погашения через три года на 100			тыс рб и второй на 200 тыс рб -
через	8	лет. Петров с Ивановым договорились, что деньги стоят
j2 =	6%	. Если Петров получит 50	тыс рб сейчас, сколько должен

заплатить Иванов через 5 лет, погашая весь долг ?

РЕШЕНИЕ Обозначим сумму, погашаемую через 5 лет через X . Задача состоит в определении X таким образом, чтобы серия «50 тыс рб сейчас и X через 5 лет» была бы эквивалентна при норме процента j2 = 6% серии «100 тыс рб через 3 года и 200 тыс рб через 8 лет».

Расположим данные на временной диаграмме, располагая каждую серию в отдельную строку и измеряя время полугодовыми периодами :

0	6	10	16
50 тыс	100 тыс	X	200 тыс
Теперь нужно выбрать дату сравнения.			Может быть использована
любая дата. Обычно выбирается самая		поздняя. В нашем примере это 8

лет ( 16 полугодовых периодов ). Равенство эквивалентности получается путем преобразования всех сумм к дате сравнения и приравнивания датированных сумм серий. Это дает

50000(1,03) 16 + X(1,03) 6 = 100000(1,03) 10 + 200000

Вычисляя соответствующие множители накопления, получим

80235 + X(1,194052) = 134392 + 200000

Из этого равенства получаем, что X = 212852 рб. В данном примере более удобной датой сравнения была бы дата сравнения, совпадающая с выплатой X. Действительно, в этом случае она равна 5 лет ( 10 периодов ) и равенство эквивалентности приобретает вид

X + 50000(1,03) 10 = 100000(1,03) 4 + 200000(1,03) -6

Вычислив процентные множители, получим выражение для X

33

X = 112551 + 167497 - 67196 = 212852 рб.

ПРИМЕР 2 Если деньги стоят 5% эффективно, какие равные платежи через 1 год и 3 года будут эквивалентно заменяться следующей серией обязательств : выплатить 100000 рб через три года и 200000 рб с накопленным процентом через 4 года при норме j2 = 6% ?

РЕШЕНИЕ Обозначим через X сумму погашения при искомых платежах. Поместим исходные данные задачи на временной диаграмме, показывая платежи различных серий в различных строках

0		1		2		3		4
		X		100 тыс		X		200 тыс

Выберем конец четвертого года в качестве даты сравнения, хотя любая другая дата была бы также возможной. Все суммы преобразовываются к дате сравнения и датированные суммы серий приравниваются, образуя уравнение эквивалентности.

X(1,05) 3 + X(1,05) 1 = 100000(1,05) 1 + 200000(1,03) 8

или после вычисления множителей накопления

X(1,157625) + X(1,05) = 105000 + 253354.

Откуда X = 358354 / 2,207625 = 162326.

Использование уравнений эквивалентности показывает, что они связывают величины трех типов : суммы погашения, даты погашения и нормы процентов. До сих пор мы использовали уравнения эквивалентности только для определения неизвестных значений сумм погашения. Вместе с тем на практике уравнения эквивалентности используются также для определения и других составляющих : даты погашения или нормы процента. Хотя техника использования уравнений в этих случаях остается прежней, имеются некоторые особенности в деталях. Рассмотрим это на примерах.

ПРИМЕР 3 100 тыс рб погашается через 5 лет и 200 тыс рб погашается через 10 лет. Если деньги стоят j1 = 4% . Через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата a) 250 тыс рб; b) 300 тыс рб ?

34

РЕШЕНИЕ a) Пусть n обозначает							искомый			временной интервал для
250 тыс рб. Построим временную диаграмму
0			n		5		10
		250 тыс
				100 тыс			200 тыс
Так как относительное			положение					n		неизвестно,	обычно
предпочтительнее выбирать в					качестве даты					сравнения настоящее
время. Преобразовывая все суммы к							настоящему времени и				составляя
уравнение эквивалентности,				получим равенство
250000(1,04) -п = 100000(1,04) -5 + 200000(1,04) -10 = 217305.

Разрешая теперь это равенство относительно n , находим, что n = 3,578 лет, то есть примерно 3 года 6 месяцев и 28 дней.

b) Процедура вычислений в этом случае точно такая же, как и в случае a). Уравнение эквивалентности получается следующим

300000(1,04) -4 = 100000(1,04) -5 + 200000(1,04) -10 = 217305

и разрешая его относительно n получим n = 8,226 лет или приблизительно 8 лет, 2 месяца и 21 день.

Когда серия обязательств заменяется единственным обязательством с суммой погашения, равной сумме сумм погашения всех обязательств серии, время выполнения этого обязательства при эквивалентной замене называется средней датой погашения или датой эквивалентности. В

решении b) последнего примера средняя дата погашения равна 8 лет 2 месяца и 21 день, начиная с настоящего момента.

Хотя нахождение уравненной даты не представляет особых трудностей, можно упростить вычисления, если допустимо грубое приближение. Пусть S1, S2 , S3 , ... будут суммами погашения различных обязательств, погашаемых через n1 , n2 , n3 , ... , периодов начисления, и пусть n будет числом периодов начисления до средней даты погашения. Тогда n может быть приблизительно определено по формуле

35

n n1S1 n2 S2 n3 S3 ...

S1 S2 S3 ...

Эта формула может быть получена выписыванием уравнения эквивалентности для наиболее поздней в серии даты погашения в качестве даты сравнения и использования простого процента вместо сложного процента.

ПРИМЕР 4 Использовать приближенную формулу для нахождения даты эквивалентности для случая b) предыдущего примера.

РЕШЕНИЕ Согласно формуле
п	5 100000 10 200000	25
				,
	100000 200000		3

то есть приблизительно 8 лет и 4 месяца.

ПРИМЕР 5 Какая эффективная норма процента обеспечивает эквивалентность двум следующим сериям обязательств: a) 30000 рб, погашаемых через два года, и 100000 рб, погашаемых через 4 года, и b) 40000 рб, погашаемых через год, и 80000 рб, погашаемых через три года ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

0

1

2

3

4

30000 100000

40000 80000

Выберем в качестве даты сравнения конец четвертого года и составим уравнение эквивалентности

40000(1 + i) 3 + 80000(1 + i)1 = 30000(1 + i) 2 + 100000.

Для решения этого уравнения относительно i сократим обе части уравнения на 10000, перенесем все слагаемые, зависящие от i , в левую часть и обозначим ее через f(i) , тогда получим

f(i) = 4(1 + i) 3 - 3(1 + i) 2 + 8(1 + i) = 10

36