(1 + j2 /2) 2 = (1 + i) 4	или j2 = 2 ((1 + i)2 - 1) .
Поскольку норма процента	i	остается прежней, получим

j2 = 0,0850452 . Можно использовать линейную интерполяцию и в этом случае. Для этого дополним вспомогательную табличку предыдущего примера четвертой строчкой, дающей сведения о j2 . Соответствующая пропорция имеет вид

	j2	0,0808		21,0000 21,2813		0,2813	,
	0,0910 0,0808			20,6078 21,2813		0,6735
что приводит		к результату		j2 = 0,0850602 .		Точность линейной
интерполяции в данном случае равна 0,0000150 .

5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА

Для определения срока общего аннуитета следует так же как и ранее сначала преобразовать его в эквивалентный простой аннуитет и затем уже рассмотренными способами определить срок полученного простого аннуитета. Обычно для завершения аннуитета заключительные платежи устанавливаются несколько меньшими, чем регулярные. Техника определения заключительных платежей ранее была рассмотрена, поэтому здесь мы остановимся только на определении количества платежей аннуитета, показав это на примере.

ПРИМЕР Сколько ежемесячных платежей по 500 тыс рб каждый потребуется для ликвидации долга 10 млн рб , если норма процента равна 6% , m = 2 и первая выплата делается через месяц после займа ?

РЕШЕНИЕ Данный аннуитет эквивалентен обыкновенному простому аннуитету с полугодовыми платежами R , связанными с платежами общего аннуитета W = 500 тыс рб соотношением

1

R = W s1 6 3% = 500000 × 6,07456894 = 3037284 рб .

Срок аннуитета определяется из свойств функции составного платежа ап i , которая удовлетворяет равенству

3,037284 ап 3 % = 10

которое приводит к нелинейному уравнению относительно n

74

ап 3 % = (1 - (1 + 0,03) -п) / 0,03 = 3,2924 .

Откуда

	(1,03) п = 1,1095971 или n =			log 11095971,	= 3,518 .
				log 1,03
Здесь	n является числом	полугодовых	периодов, этому соответствует
n =	21,1098 месяцев .	Если удобнее не вычислять логарифмы, а

воспользоваться таблицами, составим вспомогательную табличку для построения интерполяционного решения. Она примет вид

Месяцев				24	?	18
Полугодий				4	?	3
а				3,7171	3,2924	2,8286
	п		3 %

Пропорция линейной интерполяции для n в месяцах

п 18 3,2924 2,8286 0,4638 24 18 3,7171 2,8286 0,8885

дает n = 21,1320 , то есть точность определения срока при помощи линейной интерполяции в данном случае равна 0,0222 месяцев.

УПРАЖНЕНИЯ 5

1.Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный аннуитету 2 млн рб в квартал. Процентная ставка j12 = 5% .

2.Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный полугодовым выплатам 50 млн рб при процентной ставке j12 = 4% .

3.Аннуитет по 1,5 млн рб в квартал заменяется ежегодными платежами. Насколько большими будут они при процентной ставке 6% за год ?

4.Преобразовать общий аннуитет с полугодовыми платежами по 10 млн

	рб в простой аннуитет а) если деньги стоят	j1 = 6% , б) если деньги
5.	стоят j4 = 6% .
	Преобразовать общий аннуитет с ежеквартальными платежами по 5 млн
	рб в простой аннуитет а) если деньги стоят	j12 = 5% , б) если деньги
	стоят 5% в год.
6.	Найти простой аннуитет при j4 = 4% , эквивалентный платежам 15
	млн рб каждые 5 лет.

75

7.Иванов вносит 25 тыс рб в конце каждого месяца в фонд, возмещающий

с процентной ставкой j2 = 3% . Какая сумма будет на счету у Иванова через 5 лет ,

8.Дом может быть куплен за 20 млн рб наличными и по 0,7 млн рб ежемесячно в течение 20 лет. Какой является стоимость дома наличными, если процентная ставка равна 5% в год ?

9.Иванов имеет 10 млн рб в сберегательном банке, который выплачивает

проценты по ставке j12 = 3% . Если он продолжит вкладывать по 1 млн рб в конце каждого квартала, какую сумму он будет иметь на счете через 5 лет ?

10.По контракту будут делаться платежи по 250 тыс рб в конце каждых 6 месяцев в течении 10 лет и еще один платеж 10 млн рб в конце срока. Какова настоящая стоимость контракта, если деньги стоят 4% в год ?

11.Заменить аннуитет по 10 млн рб в год на эквивалентный общий аннуитет, выплачиваемый а) поквартально, б) помесячно, в) через каждые полгода, если процентная ставка равна 6% годовых.

12.Цена автомобиля равна 27,5 млн рб наличными. Покупателю дается кредит на эту покупку за 9,5 млн рб. Расчет должен быть произведен за 30 месяцев равными ежемесячными взносами. Какими будут эти платежи, если процентная ставка равна 5% годовых ?

13.Сумма 500 млн рб инвестируется сегодня для того, чтобы обеспечить человеку ежегодные поступления в течение 20 лет, первый платеж должен быть получен через 15 лет, начиная от сегодняшнего дня. Найти

величину годовых поступлений, если процентная ставка равна j4 = 3%. 14. Долг 100 млн рб выплачивается посредством 48 равных ежемесячных взносов, первый делается через 25 месяцев от сегодняшнего дня.

Какими будут платежи, если процентная ставка равна j2 = 5% .

15.Сумма аннуитета, выплачивающего по 10 млн рб через каждые полгода, в конце 35 лет равна 2000 млн рб. Найти процентную ставку j12.

16.Машина стоимостью 100 млн рб приобретается выплатой 10 млн рб наличными и десятью полугодовыми платежами по 10 млн рб. Найти процентную ставку j2 .

17.Найти годовую ставку при которой серия ежеквартальных депозитов по 2 млн рб даст итоговую сумму 90 млн рб через 8 лет.

18.Итоговая сумма пятнадцатимесячного аннуитета равна 10 млн рб. Если процентная ставка равна j2 = 5% , найти число полных платежей.

19.Сколько ежемесячных платежей по 1 млн рб необходимо, чтобы выплатить долг 40 млн рб, если процентная ставка равна 5% годовых ?

20.Настоящая стоимость аннуитета, выплачивающего поквартально 2,5

млн рб, равна 25 млн рб. Если процентная ставка равна j12 = 3% , найти количество полных платежей.

76

Если процентная ставка j12 = 8% , какими должны быть ежемесячные платежи?

5. Некто будет выплачивать долг 60 млн рб с процентной ставкой j4 = 6% равными ежеквартальными платежами в течении 8 лет. Какими будут эти платежи?

6.Известно, что оборудование нужно заменять через 15 лет после установки, стоимость замены 150 млн рб. Какую сумму нужно инвестировать компании в конце каждого года для того, чтобы заменить оборудование, если инвестиции приносят проценты 4% годовых ?

7.Цветной телевизор стоит 7,5 млн рб и покупается за 1,5 млн рб наличными и одинаковые ежемесячные взносы в течение 2,5 лет. Если процентная ставка равна j12 = 5% , какими будут платежи ?

8.По страховому договору выплачивается пособие 100 млн рб наличными или ежеквартальный аннуитет сроком 10 лет , эквивалентный этой

сумме при j4 = 4% . Найти ежеквартальные платежи аннуитета.

9. Некто занимает 100 млн рб под проценты j2 = 5% и начинает выплачивать долг полугодовыми взносами по 5 млн рб. После 10 платежей он желает изменить размер платежей, чтобы ликвидировать долг пятнадцатью взносами. Какими должны быть новые платежи ?

10.Сумма аннуитета по 10 млн рб в год равна 150 млн рб. Процентная ставка равна 4% годовых. Найти число полных платежей и величину заключительного частичного платежа, если он необходим.

11.Настоящая стоимость аннуитета 1 млн рб в квартал равна 5 млн рб.

Если процентная ставка равна j4 = 4% , найти число полных платежей и заключительный частичный платеж.

12.Усадьба стоимостью 250 млн рб покупается за 20 млн рб наличными и ежеквартальные платежи по 5 млн рб так долго, сколько необходимо.

Если процентная ставка равна j4 = 4,5% , найти количество полных платежей и заключительный частичный платеж.

13.Ежемесячный журнал стоит 2,5 тыс рб в розничной продаже. Двухлетняя подписка, однако, стоит всего 20 тыс рб. Если за подписку журнала нужно платить на месяц раньше поступления первого номера, с какой процентной ставкой j12 «работают» подписные 20 тыс рб.

14.Иванов занял 100 млн рб у Петрова и подписал контракт, обещая выплачивать по 6 млн рб процентов в конце каждого года в течение 10 лет, срока выплаты основной суммы долга. Петров сразу же продал этот контракт в банк, который выплачивает 4% годовых за его инвестиции. Сколько выплатил банк за контракт и какова прибыль Петрова ?

64