Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ

Использование значений денежных сумм без указания даты, когда они

должны использоваться, является		бессмысленным. Очевидно,		что 1000
рб наличными в	настоящее	время предпочтительнее, чем 1500 рб,
обещанные через 50 лет. Сумма платежа вместе с			датой погашения
называется датированной суммой. Например, 10000			рб, полагающиеся
7 июля 1995 г., являются датированной суммой.
Когда необходимо	сравнивать датированные		суммы,	нужно

обязательно знать норму процента. Если человек имеет возможность в

течение некоторого	времени инвестировать свои деньги, получая 8%
годовых, говорят, что	его деньги стоят j1 = 8% . При		такой	норме 1000
рб, полагающиеся через три года, и		1360,49 рб ( =	1000	× (1,08) 4 ),
полагающиеся через	7 лет, могут	рассматриваться	как эквивалентные,

так как после получения через три года 1000 рб можно в течение следующих четырех лет при норме 8% годовых накопить 1360,49 рб. Точно также 793,83 рб, ( = 1000 × (1,08) -3 ), имеющиеся в настоящее время, эквивалентны 1000 рб через три года.

В общем случае датированные суммы сравниваются по следующему правилу эквивалентности: сумма P , полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента i сумме S , полагающейся на n периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств:

S = P(1 + i) п или P = S(1 + i) -п .

Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой:

Прошлая дата	Настоящая дата	Будущая дата
D(1 + i) -п	D	D(1 + i) п

27

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.

Важным и полезным свойством эквивалентных датированных сумм является следующее свойство 1 : при данной норме сложного процента если A эквивалентно B и B эквивалентно C , то A эквивалентно C.

Для доказательства этого утверждения мы расположим данные на временной диаграмме следующим образом :

0	a	b	c
P	A	B	C
где 0 означает настоящее время		и	a , b, c представляют числа
периодов конверсии от	настоящего		времени до соответствующих дат
погашения.

Если A эквивалентно B , то B = A(1 + i) b-a . Если B эквивалентно C , то C = B(1 + i) c-a .

Исключая из этих равенств сумму B , получим, что

C = A(1 + i) b-a(1 + i) c-b = A(1 + i) c-a .

Полученный результат является условием эквивалентности датированных сумм A и C.

Это свойство не имеет места для норм простого процента и норм простого дисконта. Поэтому понятие эквивалентности для этих норм не применяется.

ПРИМЕР 1 Долг 10000 рб следует выплатить через 10 лет. Если деньги стоят j1 = 5% , найти эквивалентный долг через a) 1 год , b) 15 лет.

РЕШЕНИЕ Построим временную диаграмму

0	1	10	15
P	X	10000	Y

Согласно правилу эквивалентности

X = 10000 × (1,05) -9 = 6446,1 полагается через 1 год

28

Y = 10000 × (1,05) 5 = 12762,8 полагается через 15 лет

Иллюстрацией эквивалентности					X	и Y	может		служить применение
свойства 1, так как (6446,1)(1,05) 14 = 12762,8.
ПРИМЕР 2		Вексель	на 10000 рб со			сложным процентом при j4 = 6%
за три	года	должен	быть	погашен		через		три	года. Какая сумма,
полагающаяся через 8 лет, эквивалентна этой сумме при j2 = 4% ?
РЕШЕНИЕ		Данная	сумма,		датированная			на	конец третьего года,
равна	10000	× (1,015) 12		=	11956,2		рб.	Расположим данные на
временной диаграмме соответствующим образом
		0		6			16

11956,2 X

Здесь 6 и 16 представляют количества полугодовых периодов начисления, начиная с начального момента. Искомая сумма получается путем накопления основной суммы 11956,2 рб за 10 периодов начисления при норме 2% за период, то есть X = 11956,2 × (1,02) 10 = 14574,5 полагается через 8 лет.

3.2 СЕРИИ ДАТИРОВАННЫХ СУММ

Сумма двух или большего числа датированных сумм, погашаемых в различные даты, практически не имеет смысла. Например, предположим, что 20000 рб погашается через два года, а 30000 рб погашается через пять лет. Сумма 20000 + 30000 = 50000 рб не связана с какой либо датой и поэтому мало о чем говорит. Однако, если все рассматриваемые суммы преобразовать в эквивалентные датированные суммы с одной и той же датой погашения, то сумма таких эквивалентных сумм приобретает смысл и называется датированной суммой серии. Она будет изменяться в

зависимости	от даты, к которой преобразованы	эквивалентные
суммы. Для	различных датированных сумм одной	и той же серии

справедливо следующее свойство 2			: датированные суммы одной и			той
же серии,	определенные	для	различных	дат,	являются
эквивалентными.
Доказательство дадим для серии из двух датированных сумм. Пусть						A и

B будут двумя датированными суммами, погашаемыми через a и b периодов начисления от настоящего времени. Пусть также U и V

29

будут двумя датированными суммами этой серии, определенными для дат u и v ( за единицу времени принимается период начисления ). Представим эти данные на временной диаграмме

Время:	0	a	b	u	v
Суммы:		A	B	U	V

Преобразовывая значения A и B ко времени u согласно правилу эквивалентности и суммируя результаты, получим датированную сумму серии, погашаемую через u периодов

U = A(1 + i) u-a + B(1 + i) u-b

Умножая обе части этого равенства на (1 + i) v-u и производя очевидные упрощения, получим другую датированную сумму серии, погашаемую уже через v периодов начисления,

U(1 + i) v-u = A(1 + i) v-a + B(1 + i) v-b .

Но правая часть этого равенства в точности равна V, так что U(1 + i) v-u = V, и условие эквивалентности U и V выполняется, что и доказывает справедливость свойства 2.

ПРИМЕР Если деньги стоят j4 = 4% , найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10000 рб, погашаемых через два года, и 15000 рб, погашаемых через 5 лет, для трех случаев погашения : a) в настоящее время; b) через 2 года; c) через пять лет.

РЕШЕНИЕ Представим серию на временной диаграмме

0

8

20

10000 15000

Вычислим эквивалентные значения обоих сумм для трех требуемых временных сроков и сведем их в таблицу

	Настоящее	Через	Через
	время	2 года	5 лет
Первая сумма	9234,83	10000,00	11268,25
Вторая сумма	12293,17	13311,74	15000,00

30

Сумма серии

21528,00

23311,74 26268,25

В соответствии со свойством 2 все три датированные суммы серии должны быть эквивалентными. Это можно проверить следующим образом. Представим суммы серии на временной диаграмме

	0		8	20
	21528,00	23311,74		26268,25
Поскольку	21528,00 × (1,1) 8		= 23311,74 , датированная сумма серии на
настоящее	время эквивалентна		датированной сумме серии на конец

второго года (8 периодов начисления). Подобным образом, 23311,74 × (1,1) 12 = 26268,25

означает, что вторая датированная сумма серии эквивалентна третьей и все три датированные суммы серии являются эквивалентными.

Как уже было выше сказано , для сравнения двух итоговых сумм, погашаемых в различные даты, необходимо заменить их эквивалентными суммами, пересчитанными на одну и ту же дату. Величина разности полученных эквивалентных сумм будет различной в зависимости от использованной для сравнения даты. Также как и в случае сумм серий, разности, рассчитанные на различные даты, будут эквивалентными. Доказательство этого повторяет те же рассуждения, которые были использованы выше при анализе сумм серий на различные даты при рассмотрении свойства 2.

ПРИМЕР Сравнить два обязательства: выплатить 20000 рб со сложным процентом на 2 года при норме j4 = 5% через два года, и 10000 рб через 6 лет, если деньги стоят j2 = 6% , рассматривая их стоимость в три различные момента времени: a) настоящее время; b) через два года; c) через 6 лет.

РЕШЕНИЕ Датированная сумма первого обязательства в момент погашения равна 20000 × (1,0125) = 22089,72. Построим временную диаграмму ( время измеряется полугодиями ) :

0

4

12

22089,72 10000

31