как годовые платежи, эквивалентные ежемесячным по 0,5 млн рб. Представим платежи для первых 10 лет на диаграмме

0	1	2	3	4 ...	9	10
60 млн	R	R	R	R ...	R	R

На диаграмме R является годовым платежом и P является неоплаченной частью стоимости участка в конце 10 лет и заменяет все последующие платежи. Выписывая уравнение эквивалентности на дату сравнения в конце 10 лет, получим

P + R s 1 0 5 % = 60 × (1,05) 10 ,

откуда

P = 60 × 1,62889463 - 6,136289 × 12,57789254 = 20,5521

Тогда доля Петрова

Доля покупателя = 100 - 20,5521 = 79,4479 млн рб .

6.3 ПОКУПКА В РАССРОЧКУ

При покупке товара в рассрочку покупатель, по существу, реализует амортизацию долга, вызванного приобретением товара. Очевидно, что платежи рассрочки эквивалентны цене товара при некоторой норме процента. Однако, принимаемая норма процента редко когда обеспечивает эквивалентность обоих возможностей (оплата наличными или путем рассрочки). В самом деле, способ, при помощи которого определяются платежи, обычно неявно использует норму процента. Имеется два традиционно используемых способа определения платежей так, чтобы норма процента не проявлялась. Один из них называется

план завышения, другой - план текущей платы.

При использовании плана завышения торговец устанавливает цену товара для продажи в рассрочку и делает скидку с этой установленной цены, если товар покупается за наличные деньги. Например, набор мебели продается за 300 млн рб наличных денег. Торговец устанавливает цену

84

360 млн рб, допуская продажу за 120 млн рб наличными и выплату остатка ( 240 млн рб ) взносами по 20 млн рб в месяц в течение года. Если покупатель желает купить за наличные, ему дается скидка 16 2/3 % от установленной цены. Таким образом, ему делается скидка 60 млн рб и он заплатит за мебель 300 млн рб. Следует заметить, что завышение равно 60/300 = 20 % от цены продажи за наличные, в то время как скидка равна 60/360 = 16 2/3 % от установленной цены.

Когда используется план текущей платы, дается цена товара за наличные. Платежи взносов определяются следующим образом :

обычно требуется умеренная оплата наличными, после вычета которой
текущая	выплата	добавляется к неоплаченному остатку для получения
той суммы, которую необходимо выплатить взносами рассрочки.
Текущая	плата	обычно берется как определенный процент от

неоплаченного остатка. Сумма, полученная добавлением	текущей цены
к неоплаченному остатку, делится на определенное	число взносов
обычно равной величины.

При использовании одного из этих планов подлинная норма процента определяется через уравнение эквивалентности, устанавливающее, что цена продажи за наличные равна взносу наличными плюс текущая стоимость аннуитета, который образуют платежи рассрочки. То есть

Наличная цена = Наличный взнос + R а п i .

Это уравнение разрешается относительно

а

i и

норма процента

п

определятся

путем

решения

соответствующего нелинейного

уравнения

или

приближенно

линейной

интерполяцией с

использованием таблиц.

ПРИМЕР 1

Найти

норму

процента

j12 выплачиваемого покупателем,

который использует описанный

выше

план рассрочки.

РЕШЕНИЕ

Представим

на

временной

диаграмме

данные,

характеризующие две рассмотренные возможности

0

1

2

3 ...

11

12

120

20

20

20 ...

20

20

300

85

Пусть i будет месячной нормой процента, которая обеспечивает эквивалентность этих двух возможностей. Уравнение эквивалентности с днем продажи в качестве даты сравнения дает

300 = 120 + 20 а1 2 i и а1 2 i = 9,00 .

Решение уравнения такого типа ранее уже рассматривалось, поэтому мы приведем лишь результат j12 = 56,79 % .

ПРИМЕР 2 Товары стоимостью 54 млн рб наличными покупаются по плану текущей платы: требуется наличный взнос 14 млн рб, после выплаты которого к стоимости добавляется 20% неоплаченного остатка и эта сумма делится на 12 равных ежемесячных взносов. Какую номинальную норму процента при m = 12 предусматривает план рассрочки?

РЕШЕНИЕ После выплаты наличного взноса 14 млн рб остается неоплаченными 40 млн рб. Добавка текущей платы равна 20% от 40 млн рб или 8 млн рб. Таким образом, 48 млн рб должны быть выплачены взносами рассрочки, так что каждый ежемесячный платеж равен 4 млн рб.

Две возможности приобретения товара на временной диаграмме изображаются следующим образом

0	1	2	3	4 ...	11	12
14	4	4	4	4 ...	4	4
54

Пусть i будет месячной нормой процента, которая делает эти две возможности эквивалентными. Выпишем уравнение эквивалентности с днем продажи в качестве даты сравнения

54 = 14 + 4 а			i	или а			i = 10,00 .
	1 2				1 2

Решение этого уравнения дает результат j12 = 35,08 % .

Существует много вариаций описанных планов рассрочки. Например, по одному из рекламных объявлений товары почтой продаются согласно следующему плану платежей

86

Таблица платежей

(К заявке прилагается не менее 10% от стоимости товара)

--------------------------------------------------------------------

Неоплаченный	Добавление	Ежемесячный
остаток (тыс рб)	к платежу	платеж

--------------------------------------------------------------------

400,1 - 450	40	50
450,1 - 500	45	50
500,1 - 550	50	50
550,1 - 600	55	60
600,1 - 650	60	60

--------------------------------------------------------------------

	6.4 ПОГАСИТЕЛЬНЫЕ ФОНДЫ
Простейшей	формой	погасительного		фонда	является
сберегательный фонд, в котором платежи делаются					регулярно
одинаковыми	вкладами. Он	создается	для	накопления определенной
суммы денег	на определенную дату.		Таким образом, он отличается от
обычного сберегательного		фонда только тем, что он			создается для

накопления определенной суммы на определенную дату и что в фонд делаются регулярные платежи. Погасительные фонды устанавливаются с определенной датой окончания так, чтобы выплатить долг, который приходится на некоторую дату в будущем; чтобы купить машину для замены старой, когда она износится; или чтобы возместить сумму, инвестированную в рудник, когда его шахта минералов истощилась. Расписание, показывающее как такой фонд накапливал необходимую сумму, рассмотрим на примере.

ПРИМЕР Сумма 500 млн рб понадобится через пять лет. Если деньги могут быть инвестированы, чтобы накапливать 5% эффективно, найти сумму денег, которая должна вкладываться в фонд в конце каждого года, чтобы накопить необходимую сумму, и составить расписание, показывающее рост фонда.

РЕШЕНИЕ 500 млн рб является итоговой суммой обыкновенного аннуитета с пятью годовыми платежами. Поэтому

87

500 = R s				и R = 500 / s			5 % = 90,487 млн рб.
	5		5 %		5

Теперь сконструируем расписание. В конце первого года делается вклад 90,408 млн рб. В конце второго года делается такой же вклад. В то же самое время, однако, первый вклад накапливает проценты в течение этого года, следовательно, сумма фонда увеличится на

90,487 × 0,05 = 4,524 млн рб.

Таким образом, полное увеличение в конце второго года

90,487 + 4,524 = 95,011 млн рб

и фонд будет содержать 185,498 млн рб. Эта процедура повторяется и результаты сводятся в таблицу.

----------------------------------------------------------------------

Конец		Процент	Увеличение	Сумма
года	Вклад	фонда	фонда	фонда

----------------------------------------------------------------------

1	90,487	0	90,487	90,487
2	90,487	4,524	95,011	185,498
3	90,487	9,275	99,762	285,260
4	90,487	14,263	104,750	390,010
5	90,487	19,501	109,988	499,998
Всего	452,435	47,563	499,998

---------------------------------------------------------------------

Суммирование по столбцам делается только в целях проверки. Точность окончательного результата повысилась бы, если бы вклады делались не с точностью до одной тысячи рублей, а с точностью до одного рубля.

Иногда необходимо знать, какая сумма будет в фонде на некоторую определенную дату. Обращаясь к таблице, мы, конечно, найдем ответ, вместе с тем следует упомянут, что этот результат получился бы также как сумма аннуитета, периодические платежи которого совпадают с вкладами погасительного фонда, и сроком которого является желаемая дата. Например, в рассмотренном примере сумма фонда в конце третьего года равна 90,487 s3 5 % = 285,260 млн рб.

88