X = 20000 + 750 × а 2 4 0 0 , 0 0 5 .

Обычно таблицы для функций составных платежей содержат значения этих функций для n , не превышающих 200. Поэтому значение функции

а

не может быть получено из таблицы непосредственно и его

2 4 0

0 , 0 0 5

нужно определять

некоторым другим способом. Мы используем

тождество,

основанное на формуле (10) ( см. также упражнение 4 ).

а

= (1 + i)

- k а

+ а

.

n k

i

n

i

k

i

При n = 200 , k = 40 , i = 0.005 это тождество дает

а

= (1,005) -40 а

+ а

=

2 4 0

0 , 0 0 5

2 0 0

0 , 0 0 5

4 0

0 , 0 0 5

= 0,81913886 × 126,24055430 + 36,17222786 = 139,58077

так что эквивалентная стоимость дома на день покупки

X = 20000 + 750 × 139,58077 = 124685,6 тыс рб.

УПРАЖНЕНИЯ 4.1

Доказать справедливость следующих равенств

1.(1 + i)

2.(1 + i)

3.s n k i

4.а n k i

5.s n k i

6.а n k i

s

i

= s

i - 1.

n

n 1

а

i = а

i + 1.

n

n 1

=

s

+ (1 + i) п

s

= (1 + i) k

s

+

s

.

n

i

k

i

n

i

k

i

=

а

+ (1+ i) n

а

= (1+ i) - k

а

+ а

.

n

i

k

i

n

i

k

i

=

s

- (1 + i) n

а

= (1 + i) - k

s

- а

.

n

i

k

i

n

i

k

i

=

а

- (1 + i) - n s

= (1 + i) k

а

- s

.

n

i

k

i

n

i

k

i

52

	4.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
Основное	уравнение	аннуитета		(1)	определяет взаимоотношения
между величинами S ,		R , n	и	i . Подобным образом, равенство (3)
определяет	зависимость между		A ,	R , n и	i . В каждом из этих случаев

если мы знаем три из этих величин, четвертая может быть определена Когда известны S , n и i , периодические платежи аннуитета находятся из уравнения (1)

R

S

S

1

s

s

.

(13)

n

i

n

i

Для быстрого определения

R при отсутствии вычислительных средств

составлены таблицы величины

(1/ s

i )

для

обычно используемых

n

значений параметров n и i .

Когда даны A , n и i , формула для R получается из равенства (3)

R

А

A

1

(14)

a

a

n

i

n

i

Для быстрого определения

(1/ а

i

)

нет необходимости иметь

n

специальную таблицу, так как по

тождеству

(12)

эта величина

выражается через табулированную

величину

(1/ s

i ) простым

n

добавлением известного параметра i .

Следует заметить, что формулы (13) и (14) справедливы только для обыкновенных аннуитетов. Когда определяются платежи полагающихся или отсроченных аннуитетов, не следует использовать эти формулы. В таких случаях нужно возвращаться к общей процедуре определения составляющих аннуитета, выписывая уравнение эквивалентности.

ПРИМЕР 1 Сберегательный банк начисляет проценты по норме j4 = 3% . Какой величины вклады необходимо делать в конце каждого квартала, чтобы накопить за 5 лет 1 млн рб ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

53

0 1 2 3 4 ... 18 19 20

			R R	R R ...					R R	R
										1 млн
Выпишем уравнение эквивалентности для									даты	сравнения в конце
двадцатого периода начисления. Это дает
			1 млн рб = R s					0 , 0 0 7 5 .
					2 0
Разрешая его относительно R , получим
R = 1/ s				= 1 × 0,04653063 = 46530,63 рб.
	2 0		0 , 0 0 7 5
ПРИМЕР 2 Стиральная машина стоит 500									тыс рб наличными. Она
может быть приобретена также в рассрочку									путем начального платежа

200 тыс рб и одинаковыми ежемесячными взносами в течение двух лет. Найти величину ежемесячного платежа, если деньги стоят j12 = 3,5% .

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

0	1	2	3	...	22	23	24
200	R	R	R	...	R	R	R
500
Месячная норма		процента		равна			(7/24)% .	Уравнение

эквивалентности с датой покупки в качестве даты сравнения имеет вид

500 = 200 + R а 2 4 7 / 2 4 .

Разрешая его относительно R , получим

R = 300 × (1/ а 2 4 7 / 2 4 ) .

Из тождества (12) находим

(1/ а 2 4 7 / 2 4 ) = (1/ s 2 4 7 / 2 4 ) + 0,07/24 = = 0,04028606 + 0,00291667 = 0,04320273 .

54

Поэтому R = 300 × 0,04320273 = 12,96 тыс рб .

ПРИМЕР 3 Студент занимает 2 млн рб, чтобы заплатить за обучение в течение года. Он обещает возместить долг с процентами при j2 = 4,5% десятью полугодовыми взносами. Первая выплата будет сделана через три года после получения займа. Какими должны быть эти взносы ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

0 1 2 ... 5 6	7 ...	14	15
R	R ...	R	R
2 млн

Способ 1. Запишем уравнение эквивалентности, используя конец пятого полугодия в качестве даты сравнения

R а

= 2 × (1,0225) 5

млн рб .

1 0

2 , 2 5 %

Умножение этого равенства на (1/ а 1 0

2 , 2 5 % )

дает

R = 2 × (1,0225) 5 × (1/

а

) млн рб =

1 0

2 , 2 5 %

= 2 × 1,11767769 × 0,11278768 млн рб = 252,11 тыс рб .

Способ 2. Добавим дополнительные платежи в концах первых пяти периодов в обе строки платежей. Тогда диаграмма преобразуется к следующему виду

0	1	2 ...	5	6	7 ...	14	15
	(R)	(R) ...	(R)	R	R ...	R	R
2 млн	(R)	(R) ...	(R)

Уравнение эквивалентности для дня получения долга в качестве даты сравнения имеет вид

R а 1 5 2 , 2 5 % = 2000000 + R а 5 2 , 2 5 % .

Разрешая его относительно R , получим

55