Эта формула является достаточно точной, когда п и i не очень велики. Большей точности обычно можно достичь оставляя в уравнении (11) слагаемые со степенями i до i 2. Уравнения (9) и (11) тогда дают квадратичное уравнение

k

n2 1

k n

1

k

i2

1

i

g 1 t

0

(13)

12n

2n

1

n

В практических обстоятельствах только один корень этого уравнения является подходящим, другой является заметно отличающимся от значения, задаваемого уравнением (12). Применяя формулы (12) и (13) в примере 2 для k = – 2, п = 20 и g(1 – t1) = 05 , мы получим приближенные доходности 6,70 % и 6,80 % , соответственно.

11.5 ФОРМУЛА МЭЙКХЭМА

Рассмотрим акцию с N номиналами, которая должна быть выкуплена через 20 лет по цене R за единицу номинала, и пусть С = NR . Таким образом, С является денежным платежом при выкупе. Пусть купонная ставка (т.е. годовая процентная ставка на единицу номинала) равна D и предположим, что процент выплачивается р-кратно в год просрочкой (т.е. в конце интервала платежа). Таким образом, каждый процентный платеж является суммой DN/р = gС/р , где

g =	DN				=	(14)
		C
=		D	.			(15)
		R

Заметим, что g является годовой процентной ставкой на единицу выкупной цены.

Рассмотрим инвестора, подверженного подоходному налогу по ставке t1 , который хочет купить акцию по цене, обеспечивающей эффективную чистую доходность i в год. Пусть цена, которую ему следует заплатить равна А . (Мы предполагаем, что п является целым, кратным 1/р , и что любой процент, полагающийся на настоящее время, не будет получен покупателем.) Цена является просто настоящей стоимостью (при ставке i) выкупной вырученной суммы и будущих нетто платежей процентов. Таким образом,

185

	А = N R v п + (1 – t1) DN а							p =		при ставке i
							n
	= С v	п + (1 – t1) gС а				p =
				n
	= С v	п	+ (1 – t1) gС ×		1 vn				=
						i p

=С v п + g 1 t1 (С – С v п) .

ip

Значит

	А = K +	g 1 t1	(С – K) ,	(16)
		i p

где K = С v п (при ставке i) является настоящей стоимостью возмещений капитала, а [(1 – t1) g/ i(р)](С – K) является настоящей стоимостью нетто платежей процентов. Равенство (16) является известной формулой Мэйкхема и является очень важной. Заметим, что (1 – t1) g является нетто ставкой годовых процентных платежей на единицу выкупной цены или на единицу «задолженности». Равенство (16) имеет место только когда

а) t1 , g и R являются постоянными в течение срока действия акции; и б) п является целым, кратным 1/р .

(Когда эти условия не удовлетворяются, формулу (16) необходимо модифицировать.)

Формула Мэйкхема остается справедливой, когда акция выкупается отдельными взносами, при условии, что купонная ставка D , ставка подоходного налога t1 и цена выкупа на единицу номинала остаются постоянными. Чтобы показать это, мы рассмотрим акцию с количеством номиналов N = N1 + N2 + ... + N т ; число номиналов, выкупленных в момент пj , будет N j ( j = 1, 2, ... , т).

Сумма, полученная в качестве возмещения части акции в момент пj , равна Сj = RN j . Формула (16) подразумевает, что стоимость капитала и нетто платежей процентов, ассоциированная с j-ой «долей» акции, равна

Аj = Kj + g 1 t1 (Сj – Kj) , i p

где

Kj = Сj vn j .

186

Стоимость всей акции, очевидно, равна

m	m		g 1			t j
А = Aj =		K j					C j K j
j 1			i	p
	j 1

=K + g 1 t1 (С – K) ,

ip

где

m	m
K = K j C j vnj
j 1	j 1

является стоимостью платежей капитала и

m

m

m

С = Cj RN j R N j R N

j 1

j 1

j 1

как и ранее. Таким образом, формула (16) остается справедливой в этой ситуации.

Настоящая стоимость, или цена единицы номинала равна, конечно, Р = А / N , при условии, что актив покупается целиком. Привлекательность формулы Мэйкхема заключается в том, что она дает возможность быстро получить стоимость процентных нетто платежей и полной стоимости актива из стоимости капитала K , если даже акция выкупается отдельными взносами.

ПРИМЕР 1 Выпускается акция стоимостью 75 млн руб, зарабатывающая дивиденды по ставке 8% годовых, выплачиваемых поквартально просрочкой. Акция должна возмещаться по номиналу 15-ью годовыми взносами, первый взнос возмещается пять лет спустя после даты выпуска.

Найти цену, которую нужно заплатить в день выпуска за всю акцию покупателю, который желает иметь доходность а) 10% годовых эффективно, и b) 10% годовых, конвертируемых по полугодиям. (Налогами пренебречь.)

РЕШЕНИЕ Возмещения капитала составляют сумму 5 млн руб. Первое возмещение выплачивается через пять лет, а последнее возмещение выплачивается через 19 лет.

а) Выберем год как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 10% , так что i = 0,10. Используя

187

принятые выше обозначения, мы имеем С = 75 (так как выкуп по номиналу). Стоимость возмещения капитала равна

K = 5×(а19 – а4 ) при 10% = 25,975.

Заметим, что так как выкуп по номиналу, g = 0,08 и процент выплачивается поквартально (т.е. четыре раза в единицу времени), так что р = 4. По формуле Мэйкхема мы получаем требуемую цену

	25,975 +	0,08	×(75 – 25,975) = 66,636.
		0,10 4

Так как 66,636 / 75 = 0,8885 , эта цена может котироваться как 88,85% (88,85 денежных единиц на 100 денежных единиц номинала).

b) Выберем шесть месяцев как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 5% . Таким образом, i = 0,05. Теперь заметим, что процент выплачивается дважды за единицу времени, так что в принятых обозначениях р = 2. Сумма процентов, выплачиваемая за единицу времени, равна 4% невозмещенной доли акции, поэтому теперь мы имеем g = 0,04. Возмещение капитала происходит в моменты времени

10, 12, 14, ... , 38, так что

K =	5000			( а		– а			) при 5% = 25,377 .
	a				40		10
		2

Значит стоимость всей акции равна

25,377 +	0,04	(75 – 25,377) = 65,565 млн руб или 87,42% .
	2
	0,05

Заметим, что эта цена меньше, чем в случае а).

Читатель, который оценивал процентные платежи, пользуясь обычным анализом потоков платежей быстро убедится в преимуществе формулы Мэйкхема.

ПРИМЕР 2 По отношению к акции описанной в предыдущем примере найти цену, которая должна быть выплачена в дату выпуска покупателем всей акции, который выплачивает подоходный налог по ставке 40% и хочет получать от акции чистый доход 7% годовых эффективно.

188

РЕШЕНИЕ Платежи капитала имеют величину

K = 5000×(а19 – а4 ) при 7% = 34,741.

Поэтому цена, обеспечивающая чистый доход 7% годовых эффективно, равна

	34,741 +	0,08(1 0,4)	(75 – 34,741) = 63,061 млн руб или 84,08% .
		0,07 4

ПРИМЕР 3 Акция с номинальной суммой 80 млн руб выкупается за 105% четырьмя взносами в конце 5, 10, 15 и 20 годов. Акция обеспечивает дивиденд по ставке 10% в год, выплачиваемый по полугодиям.

Инвестор, выплачивающий подоходный налог по ставке 30%, купил акцию целиком в день выпуска по такой цене, чтобы получать чистый доход 8% в год эффективно. Какую цену он заплатил?

РЕШЕНИЕ Заметим, что полная задолженность С равна 80 × 1,05, т.е. 84 млн руб. Каждый год полные процентные платежи равны 10% невозмещенного номинала акции, так что процент, выплачиваемый каждый год, равен произведению g на невыплаченную задолженность,

где g = 0,1 / 1,05 .

Выберем один год в качестве единицы времени. Тогда i = 0,08 и в день выпуска платежи капитала имеют величину

K = 20	× 1,05 × (v 5 + v 10 + v 15 + v 20) при 8% =
		a
= 21			20				при 8% = 35,144 .
		s
	5

Используя значение g , приведенное выше, мы получим цену, выплачиваемую инвестором в виде

	35,144 +		0,1			1 0,3	(84 – 35,144) = 76,656 млн руб .
		1,05				0,08 2

Заметим, что «цена в процентах» равна цене за 100 денежных единиц номинальной суммы акции, т.е. (76,656 / 80) × 100 = 95,82 %.

ПРИМЕР 4 Выпускается акция с номинальной суммой 1 200 млн руб, обеспечивающая дивиденды 11% в год, выплачиваемые по полугодиям. В

189

конце каждого года часть акции будет выкупаться по 105% . Номинальная сумма, выкупаемая в конце первого года, будет 10 млн руб и каждый последующий год выкупаемая номинальная сумма будет увеличиваться на 10 млн руб до тех пор, пока акция не будет выкуплена. Выпускная цена акции равна 98,80% .

Найти чистую эффективную доходность инвестора, выплачивающего подоходный налог 40% , который покупает всю акцию в день ее выпуска.

РЕШЕНИЕ Срок акции равен п годам, где

1 200 000 = 10 000 × (1 + 2 + ... + п) = 5 000 × п(п + 1) ,

откуда следует, что п = 15.
Заметим,	что так	как	выкупная цена	равна	105% , полная
задолженность	С равна	1 200 × 1,05 = 1 260 и		g =	0,11 / 1,05 . Наша
единица времени равна одному году и р = 2 .
При процентной ставке i			возмещения капитала имеют величину

K = 10 × 1,05 × Ia 15 ,

так что

K = 10 × Ia 15 при ставке i .

Таким образом, стоимость акции, которая обеспечит инвестору чистую доходность i в год равна (с учетом значения g )

А = K +

0,11

1 0,4

1260 K

.

1,05

i 2

Так как выпускная цена равна

98,80%

на 100 денежных единиц

номинала, цена, выплачиваемая инвестором была 0,988

×

1

200

, т.е.

1 185 млн руб. Нам нужно найти значение i

такое, чтобы

А

равнялось

этой величине.

Заметим, что каждые

инвестированные 98 800 руб

порождают

чистый доход 6 600 руб

в год и возмещаются как 10 500 руб. Чистая

доходность будет, таким

образом,

будет

несколько

больше,

чем

6 600 / 98 800 = 0,0668 или

6,68 % . Поэтому в качестве первого шага мы

оценим акцию при 7% .	Мы оставляем читателю проверить, что при
i = 0,07 А = 1 206,86 или	100,57 % . Значит чистая доходность больше,

чем 7 % годовых. Легко проверить, что при i = 0,08 А = 1 127,29 или

190