Глава 6 АМОРТИЗАЦИЯ И ПОГАСИТЕЛЬНЫЕ ФОНДЫ

6.1 АМОРТИЗАЦИЯ ДОЛГА

Первоначально слово амортизация означало ликвидацию долга любыми

способами.	В современном использовании термин амортизация означает
погашение		долга,		основной		суммы		и	процентов,	путем
последовательности			обычно		одинаковых платежей. Таким образом,
каждый	платеж		содержит уплату				процентов, накопившихся за
неоплаченную		основную			сумму	в	течение		предшествующего
временного		периода,		а	также возмещение				части неоплаченной
основной	суммы.		Поскольку платежи обычно являются равными, они

образуют аннуитет.

ПРИМЕР 1 Долг 100 млн рб необходимо амортизировать равными платежами в конце каждого года в течение 5 лет. Если процент за неоплаченную основную сумму начисляется по 5% эффективно, найти сумму каждого платежа. Составить расписание, показывающее, какая часть основной суммы возмещена, и какая часть основной суммы остается неоплаченной на конец года.

РЕШЕНИЕ Сначала найдем, какими должны быть платежи. Так как пять платежей образуют обыкновенный аннуитет с настоящей стоимостью 100 млн рб ( первоначальная задолженность ), мы имеем

100 = R а5		5%	или	R = 100 / а5		5% = 23097,5 тыс рб.
Теперь составим расписание,				показывающее процесс амортизации

долга. Так как исходная сумма долга 100 млн рб использовалась заемщиком в течение первого года, процент, полагающийся в конце этого года равен

100 × 0,05 млн рб = 5 млн рб.

Так как платеж составляет 23,0975 млн рб, 18,0975 млн рб из этих денег возмещает основную сумму. Поэтому задолженность в конце года сводится к

100 - 18,0975 = 81,9025 млн рб

77

и эта сумма является неоплаченной частью основной суммы в течение второго года. В конце второго года полагаются проценты с суммы 81,9025 млн рб, то есть

81,9025 × 0,05 млн рб = 4,0951 млн рб .

Платеж остается прежним 23,0975 млн рб, что дает возможность свести задолженность по основной сумме к

81,9025 - (23,0975 - 4,0951) = 62,9001 млн рб .

Такая вычислительная процедура повторяется для последующих трех лет, в течение которых долг должен быть полностью ликвидирован. Нижеследующая таблица дает полное представление о процессе погашения долга

Конец	Процент	Годовой	Возмещенная	Неоплаченная
года	5% в год	платеж	сумма	сумма
0				100000000
1	5000000	23097500	18097500	81902500
2	4095100	23097500	19002400	62900100
3	3145000	23097500	19952500	42947600
4	2147400	23097500	20950100	21997500
5	1099900	23097400	21997500	0
Всего	15487400	115487400	100000000

Итог в конце таблицы желателен для целей проверки. Полная сумма столбца «Возмещенная сумма» должна совпадать с первоначальной задолженностью. Точно также, сумма столбца «Годовые платежи» должна совпадать с суммарным процентом плюс сумма столбца «Возмещенная сумма» .

Другой тип задачи амортизации появляется, когда размер платежей задан и нужно найти сколько платежей нужно сделать и каким должен быть последний платеж. Рассмотрим эту задачу на примере.

ПРИМЕР 2 Долг 100 млн рб при норме процента j2 = 6% будет амортизирован платежами по 20 млн рб в конце каждых 6 месяцев пока не

78

будет возмещен. Составить расписание амортизации, показывающее процесс полного погашения долга.

РЕШЕНИЕ Процент, полагающийся в конце первых 6 месяцев, равен 100 × 0,03 = 3 млн рб. Платеж 20 млн рб, сделанный в это время, выплатит процент и уменьшит неоплаченную часть основной суммы долга на 17 млн рб. Таким образом, первый платеж уменьшит долг до 83 млн рб. Далее процедура вычисления повторяется и результаты сводятся в таблицу

Конец	Процент	Выплата	Возмещаемая	Неоплаченная
периода	(3%)	за период	сумма	сумма
0				100,000
1	3,000	20,000	17,000	83,000
2	2,490	20,000	17,510	65,490
3	1,965	20,000	18,035	47,455
4	1,424	20,000	18,576	28,879
5	0,866	20,000	19,134	9,745
6	0,292	10,037	9,745	0
Всего	10,037	110,037	100,000

------------------------------------------------------------------------------------------------

Как видим заключительный платеж составляет только 10,037 млн рб, так как эта сумма полностью ликвидирует долг.

Рассмотренные примеры показывают, что задачи, касающиеся амортизации, по существу, являются задачами об аннуитетах с известной настоящей стоимостью, а расписание амортизации является просто записью, которая показывает распределение по времени выплат процентов и возмещений основной суммы долга.

6.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОПЛАЧЕННОЙ СУММЫ ДОЛГА

Когда погашается долг,	неоплаченная	сумма	долга	после любого
заданного числа платежей может найдена			путем		составления
расписания амортизации.	Когда число платежей велико,				составление
полного расписания	становится утомительным и желательно иметь
способы его ускорения. Как мы увидим,		для	этих	целей можно
использовать соответствующее уравнение стоимостей.

79

Неоплаченная сумма долга на любую дату представляет собой невозмещенный баланс долга. Точно так же на любую дату настоящая стоимость платежей, которые еще не сделаны, представляет собой невозмещенный баланс долга. Таким образом, мы получаем следующее соотношение эквивалентности : неоплаченная сумма долга на любую заданную дату эквивалентна сумме платежей, которые должны быть сделаны.

ПРИМЕР 1 Долг 100 млн рб будет амортизироваться платежами в конце каждого квартала в течение 12,5 лет. Если деньги стоят 3,5 % , m = 4, найти неоплаченную часть долга в конце седьмого года.

РЕШЕНИЕ Способ 1. Сначала определим необходимые амортизационные платежи. Платежи образуют обыкновенный аннуитет с текущей стоимостью 100 млн рб, поэтому

100 = R а			значит R = 100 / а				7/8% = 2,4779 .
		7/8%
	50			50

Так как неоплаченная часть долга в конце 7-го года эквивалентна платежам, которые должны быть сделаны, мы представим на временной диаграмме только платежи последних пяти с половиной лет.

28	29	30	31 ...	49	50
P	R	R	R ...	R	R

Равенство стоимостей дает

P = R а22 7/8% = 2,4779 × 19,93310 = 49,3923 млн рб.

Способ 2.	Другой		способ	определения неоплаченной части
долга основан	на	использовании временной диаграммы платежей
первых семи лет
0	1	2	3 ...	27	28
	R	R	R ...	R	R+P
100 млн

80

Заметим, что на временной диаграмме в конце седьмого года помещено P, обозначающее остающиеся платежи. Теперь мы составим уравнение стоимостей на конец 7-го года в качестве даты сравнения. Это даст

P + R s50 7/8% = 100 × (1,00875) 28 .

Разрешая его относительно P , мы получим

P = 100(1,000875) 28 - 2,4779 s50 7/8% = 49,3923 млн рб .

При определении неуплаченной части долга мы использовали два подхода. В первом использовалась заключительная часть временной диаграммы и платежи, еще не сделанные. Такой способ иногда называют методом перспективы, так как он использует будущие операции по выплате долга. Во втором способе используется начальная часть временной диаграммы и платежи, которые уже сделаны. Так как этот способ использует уже выполненные операции по выплате долга, его иногда называют ретроспективным методом. Когда все платежи одинаковые, обычно проще использовать первый метод, так как неоплаченная часть долга в любой момент времени совпадает с настоящей стоимостью аннуитета, состоящего из платежей, которые еще предстоит сделать. Таким образом, сразу после k-го платежа неоплаченная часть долга равна

P = R a

i .

(1)

n k

Однако

когда

заключительный

платеж

отличается от регулярных,

обычно

проще

использовать второй

способ,

поскольку сразу после

k-го платежа неоплаченная часть долга равна

P = A(1 + i) k - R s

i .

(2a)

k

Используя тождество (1 + i) k

= 1 + i

s

i ,

мы можем переписать

n k

предыдущее равенство в более простом виде

P = A - (R - Ai)

s

i .

(2b)

k

81

( При вычислении по этой формуле, к тому же, достаточно пользоваться одной таблицей. ) Эта формула показывает также , что выплаченная

сумма долга равна (R - Ai) s k i .

ПРИМЕР 2 Долг 300 млн рб и проценты при j12 = 6% амортизируются платежами по 5 млн рб в конце каждого месяца до полного погашения долга. Найти неоплаченную часть долга в конце третьего года.

РЕШЕНИЕ Так как число платежей и величина заключительного платежа неизвестны, проще использовать ретроспективный метод. Пусть P обозначает неоплаченную часть долга в конце третьего года. Тогда P эквивалентно всем платежам, сделанным после трех лет, и может быть использовано для обозначения всех этих платежей на временной диаграмме

0	1	2	3 ...	35	36
	5	5	5 ...	5	5+P

300

Записывая уравнение эквивалентности с использованием конца 36-го периода в качестве даты сравнения, получим

P + 5 s36 0,5% = 300 × (1,005) 36.

Производя вычисления, получим P = 162,324 млн рб. Метод амортизации часто используется при ликвидации долга, возникающего из-за покупки собственности. При этом неоплаченная часть долга часто упоминается как доля покупателя. Выплаченная часть долга вместе с наличным платежом, если он был, называется долей покупателя. Таким образом мы получаем соотношение

Доля покупателя + Доля продавца = Стоимость собственности

(3)

Слова «стоимость собственности» относится к первоначальной продажной цене, которая может быть или не быть ее настоящей рыночной стоимостью.

ПРИМЕР 3	Дом стоимостью	100 млн рб продается за	30 млн рб
наличными и	серию платежей	ежемесячными взносами	в течение 15

82

лет. Если норма процента			равна	j12 = 6% , найти доли продавца и
покупателя в стоимости дома в конце шестого года после сделки.
РЕШЕНИЕ Так как амортизируется 70 млн рб
70 = R а			или	R = 70 / а				1/2% = 0,5907 ,
		1/2%
	180				180

которые ежемесячно выплачиваются. Неоплаченная часть стоимости дома в конце 6 лет может быть найдена или методом перспективы или ретроспективным методом, но метод перспектив в этом случае будет проще. Представим выплаты за последние 9 лет на временной диаграмме

72	73	74	75 ...	179	180
P	R	R	R ...	R	R

Приравнивание стоимостей дает

P = R а180 1/2% = 0,5907 × 83,29342446 = 49,2014 млн рб,

которые являются неоплаченной частью стоимости дома, или долей продавца в конце 6 лет. Так как первоначальная цена дома была 100 млн рб, доля покупателя равна

100 - 49,2014 = 50,7986 млн рб.

ПРИМЕР 4	Петров купил участок земли		стоимостью		100	млн рб,
заплатив 40 млн рб наличными и остальное			ежемесячными взносами по
0,5 млн рб до полной выплаты стоимости участка. Если норма						процента
равна 5% эффективных, найти долю Петрова в конце десятого года.
РЕШЕНИЕ	Так как	число платежей		неизвестно,		удобней
использовать ретроспективный метод. Платежи по 0&5 млн					рб образуют
общий аннуитет, поэтому		мы сначала найдем эквивалентный годовой

аннуитет. Таким образом, мы имеем

R = W/ s m p i = 0,5 / s 12 5 % =

= 0,5 × 12,27257753 = 6,136289 млн рб,

83