4.4 ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ

Когда срок аннуитета устанавливается, начиная с некоторой даты в будущем относительно даты заключения сделки, аннуитет называется отсроченным аннуитетом. Обычно анализируют отсроченные аннуитеты как обыкновенные аннуитеты, поэтому в последующем слово «обыкновенные» для краткости будем опускать.

Продолжительность времени от даты заключения сделки до начала срока аннуитета, то есть до начала первого интервала платежа, называется периодом отсрочки. Таким образом, аннуитет, состоящий из полугодовых платежей, первый из которых делается через 4 года, квалифицировался бы как отсроченный аннуитет с периодом отсрочки 3,5 года.

Для определения настоящей стоимости отсроченного аннуитета не требуется никаких новых методов. Как обычно, составляется уравнение эквивалентности с удобной датой сравнения и из него находится текущая стоимость. Поясним это на примере.

ПРИМЕР Компания получила определенную сумму, которую она будет возмещать, выплачивая по 50 млн рб в месяц, первая выплата должна быть сделана через 2 года, а последняя - через 5 лет от даты заключения сделки. Какую сумму получит компания в день заключения сделки при норме процента 6% , m = 12 ?

РЕШЕНИЕ Обозначим через A настоящую стоимость платежей и поместим исходные данные задачи на временную диаграмму

0 1 2 3 ... 23 24	25	...	59	60
50	50	...	50	50

A

Способ 1. Первая выплата попадает на конец 24-го месяца, а последняя должна быть сделана в конце 60-го месяца, так что всего состоится 37 выплат. Поэтому эти платежи можно рассматривать как обыкновенный аннуитет с 37-ью платежами, отсроченными на 23 интервала платежа. Выпишем уравнение эквивалентности на дату сравнения в конце 23-го месяца.

48

A х (1,005) 23 = 50 × a 3 7 0 , 0 0 5 млн рб Умножая это равенство на (1,005) -23, получим

A = (1,005) -23 × 50 × a 3 7 0 , 0 0 5 млн рб =

= 0,8916216 × 50 × 33,70250372 = 1502,49 млн рб.

Способ 2. Этот способ не очевидный и дает пример, когда небольшая изобретательность позволяет упростить вычисления. Поместим на диаграмму дополнительные платежи по 50 млн рб в концах первых 23-ех месяцев в обоих строках. Тогда диаграмма приобретет вид

0	1	2	3	...	23	24	25	...	59	60
A	(50)	(50)	(50)	...	(50)	50	50	...	50	50
	(50)	(50)	(50)	...	(50)

Поскольку дополнительные платежи будут одинаково входить в обе части уравнения эквивалентности, их присутствие не должно влиять на правильность результата. В правой части будет стоять стоимость аннуитета с 60-ью платежами, а к левой части добавится аннуитет с 23-ью платежами. Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день заключения сделки в этом случае имеет вид

A + 50 × a			0 , 0 0 5 = 50 × a							млн рб.
	2 3			6 0		0 , 0 0 5
Подставляя сюда соответствующие значения						a			i	из таблицы и выражая
							n
A , получим

A = 50 × ( a 6 0 0 , 0 0 5 - a 2 3 0 , 0 0 5 ) млн рб =

= 50 × ( 51,72556075 - 21,67568055 ) = 1502,49 млн рб.

Способ 1 является более естественным, но при наличии таблиц Способ 2 является более простым.

Если два способа, описанные в примере, применяются при расчете	A
для аннуитета с n платежами по R рб каждый, отсроченного на	k

49

периодов,

и с нормой процента i

за период, тогда общая формула для

Способа 1 имеет вид

A = (1 + i) -k R a

i .

(8)

n

А для Способа 2 эта формула выглядит следующим образом

A = R( a

i - a

i

) .

(9)

n k

k

Так как

значения A для обоих

методов

должны

быть одинаковы,

приравнивая правые части равенств (8) и (9), мы получим полезное тождество

a			i - a			i = (1 + i) - k a			i .	(10)
	n k			k			п

Здесь снова следует заметить, что полезно освоить методы получения результатов, а не запоминать полученные формулы. Всегда нужно точно представлять исходные данные на временной диаграмме, правильно определяя количество платежей и период отсрочки.

4.5 ТОЖДЕСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАКОПЛЕНИЯ И АННУИТЕТЫ

Функции составных платежей широко используются в финансовых расчетах, связанных с платежами распределенными во времени. Для основных из них составлены таблицы, принципы составления которых отражены в приложении к книге. Важную роль при финансовых расчетах играют также тождества, которые устанавливают часто используемые взаимоотношения между функциями составных платежей s n i и а n i .

Воспользуемся равенством (2)

		S = A(1 + i) п .
Подставляя в это равенство значения S					и		A по			формулам (1) и (3) и
сокращая обе части равенства на R , получим
s				= (1 + i) п	а				.	(11)
	n		i			n		i

Эта формула и определяет первое тождество, связывающее рассматриваемые функции.

50

Далее, из определения

s

i

1 i n

1

i

n

следует, что

1 + i

s

= (1 + i) п .

n

i

Поделив это равенство на (11), мы получим второе тождество

1

i

1

(12)

s

a

n

i

n

i

Оба тождества (11) и (12) справедливы для

любых значений параметров

n и i .

В дополнение к только что полученным тождествам можно добавить и ряд других важных тождеств. Некоторые из них предлагается получить в порядке выполнения нижеследующих упражнений. Важность этих тождеств можно оценить тогда, когда при расчетах необходимо определять значения функций составных платежей для таких n , которые лежат за пределами имеющихся таблиц.

ПРИМЕР При приобретении дома необходимо заплатить 20							млн рб в
день покупки и выплачивать 750 тыс			рб	ежемесячно			в течение
следующих 20 лет. Если деньги стоят j12 = 6%				, какова стоимость дома на
день покупки ?
РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму
0	1	2	3		...	240
20 млн	750 тыс	750 тыс	750	тыс	...	750 тыс
X

Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день покупки

51