4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Когда неизвестна процентная ставка i , но заданы R , n и A ( или S ) , мы вновь обращаемся к формуле (3)

A = R a п i = R (1 - (1 + i) -п)/i ,

которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки i . Оно может быть преобразовано к виду

(A/R)(1 + i) п+1 - (1 + A/R)(1 + i) п + 1 = 0

Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.

Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения. Продемонстрируем это на примерах.

ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для m = 12 начисляет проценты сберегательный банк ?

РЕШЕНИЕ

Обозначим через i

месячную норму процента и через j12

- соответствующую номинальную норму. Вклады

по 25000 рб образуют

аннуитет с

итоговой

суммой

1625000

рб как

показано на

нижеследующей временной диаграмме

0

1

2

3

...

58

59

60

25т

25т

25т

...

25т

25т

25т

1625т

Уравнение аннуитета имеет вид

25 s

i = 1625

так что s

i = 65

6 0

6 0

61

На основе таблицы для функции составных платежей s п i составим следующую табличку

s			i	65,46611	65,00000	64,64671
	6 0
	i			7/24 %	?	1/24 %
	j12			7/2 %	?	3 %

Составляем пропорцию линейной интерполяции

j12 0,03 65,00000 64,64671 0,35329 0,035 0,03 65,46671 64,64671 0,81940 .

Откуда получаем j12 = 0.03216 .

ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца. Какую номинальную норму для m = 12 предусматривает такое расписание ?

РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме

0

1

2

3

4

... 11

12

9.55 9.55 ... 9.55 9.55

90

Уравнение аннуитета имеет вид

90 = 9,55 ( a 1 2

i - a

i )

так что

a 1 2

i - a

i = 9,4241 .

2

2

Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку

		j12				9 %	?	10.5 %
		i				3/4 %	?	7/8 %
a 1 2		i - a			i	9.4572	9.4241	9.3704
			2

62

Пропорция линейной интерполяции имеет вид

		j12 0,09		9,4241 9,4572	0,0331
								.
		0,105 0,09		9,3704 9,4572			0,0868
Следовательно, j12 = 0.0957 .
Применяя	приближенные			методы	интерполяции,				следует

представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием

интерполяции по таблицам функций составных платежей.								Когда	i
получается по	таблицам a						i , результат немного завышается; когда
					п
используются	таблицы s			i ,			результат немного меньше	истинного.
		п

Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее - от величины n . Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину

(n/10)( разность норм процента ) 2 .

Эта величина для расчета i в примере 1 равна

(60/10)( 0,07/24 - 0,01/4 ) = 0,00000104 .

и для j12 составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет j12 с точностью до шестого знака дает 0,095719 .

УПРАЖНЕНИЯ 4.2

1.Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий j4 = 3% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?

2.Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка j1 = 5% .

3.Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка j4 = 5% ?

4.Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.

63