Определитель произвольного порядка

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов

любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain

( разложение по элементам i −ой строки; i =1,2,..., n)

= a1 j A1 j +a2 j A2 j +... +anj Anj

( разложение по элементам j −го столбца; j =1,2,..., n)

Пример. Найти определитель

Решение

i =1

3	−4	6
2	−3	1
−3	5	1

= A =3 A11 +(−4) A12 +6 A13 = 3 (−8) +(−4) (−5) +6 1 = 2

A11 = −8 A12 = −5 A13 =1

j=3

=6 A13 +1 A23 +1 A33 = 6 1+1 (−3) +1 (−1) = 2

A13 =1

A23 = −3 A33 = −1

Пример. Вычислить определитель

Решение

3	0	7	11
−2	5	9	−4
1	0	3	8
4	−1	6	0

j = 2		A		= 0 A12 +5 A22 +0 A32 +(−1) A42 =5A22 − A42

A22 =		3	7	11		={3 3 0 + 4 7 8 +1 6 11}−{4 3 11 +3 6 8 +1 7 0}=
		1	3	8
		4	6	0		={0 + 224 +66}−{132 +144 +0}= 290 −276 =14

A42 =	3	7	11	={3 9 8 +1 7 (−4) +11 (−2) 3}−{1 9 11 +8 7 (−2) +3 3 (−4)}=
	−2 9		−4
	1	3	8	={216 −28 −66}−{99 −112 −36}=171

A =5A22 − A42
A22 =14	A42 =171

A =5 14 −171 = −101