Замечания:

•r(A)=0 A-нулевая

•r(An×n)=n A-невырожденная

Линейная зависимость и независимость

Линейная комбинация векторов

			*
			*
a	=				a	= (* * ... *)
i			...		i
			*

Линейной комбинацией векторов a1, a2 ,...,ak c коэффициентами λ1,λ2 ,...,λk называется вектор

a = λ1a1 +λ2a2 +... +λk ak

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и называется нетривиальной в противном случае.

Пример. Найти вектор b, который является линейной комбинацией заданных векторов a1,a2,a3,a4 с заданными числовыми коэффициентами k1,k2,k3,k4, если

k1 = 2		k2 = −3
ar1 = (1	4	0	−2)
ar3 = (5	6	−3	7)

k3 = 0		k4 =5
ar2	= (−3	2	1	5)
ar4	= (−2	0	3	4)

Решение

k1 a1 = 2 (1 4 0 −2)= (2 8 0 −4)

k2 a2 = (−3) (−3 2 1 5)= (9 −6 −3 −15) k3 a3 = 0 (5 6 −3 7)= (0 0 0 0)

k4 a4 =5 (−2 0 3 4)= (−10 0 15 20)

k1 a1 +k2 ar2 +k3 a3 +k4 a4 =

= (2 8 0 −4)+(9 −6 −3 −15)+(0 0 0 0)+(−10 0 15 20)

= (2 +9 +0 −10 8 −6 +0 +0 0 −3 +0 +15 −4 −15 +0 +20)=

= (1 2 12 1)

Система векторов a1, a2 ,..., ak называется линейно независимой, если любая нетривиальная линейная комбинацияэтих векторов отлична от нулевого вектора.

λ1a1 +λ2a2 +... +λk ak ≠ 0

Система векторов a1, a2 ,..., ak называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов λ1,λ2 ,...,λk , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что

λ1a1 +λ2a2 +... +λk ak = 0