Элементарные преобразования матрицы
•Перестановка строк (столбцов) матрицы.
•Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю.
•Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Эквивалентные матрицы
Определение. Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены одна из другой с помощью элементарных преобразований.
A ~ B
Поиск обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
1. Приписываем к исходной матрице |
A = (aij )n×n |
справа |
||||||||||
|
единичную матрицу того же порядка, разделяя их чертой. |
|||||||||||
|
a |
a |
... |
a |
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
... |
||||||||
|
|
|
|
... |
|
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
|
||||||
2. |
С помощью элементарных преобразований или только строк или |
|||||||||||
|
только столбцов приводим левую матрицу к единичной, совершая |
|||||||||||
|
одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. |
|||||||||||
|
|
1 |
0 ... |
0 |
~ |
|
|
~ |
|
... |
~ |
|
|
a |
a |
|
a |
||||||||
|
|
0 |
1 ... |
0 |
~11 |
|
|
~12 |
|
... |
~1n |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
a2n |
|
||||||
|
|
|
|
|
... |
... |
|
... ... |
|
|||
|
... ... ... ... |
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 ... |
1 |
~ |
|
|
~ |
|
... |
~ |
|
3. |
|
an1 |
an2 |
|
ann |
|
||||||
Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица |
||||||||||||
является обратной к исходной матрице.
−1 = ~
A (aij )n×n
