Основная теорема о ранге матрицы

Теорема. Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк и столбцов.

B1		B2	...	Bn
	↓	↓	...	↓		← A1
*		*	...	*
	*	*	...	*		← A2
		...	...	...
...					... ...
	*	*	...	*		← A
						m

Пример. Выяснить, являются ли векторы

линейно зависимыми.			1					2					3
a	=		3		a	=		1		a	=		−1
1			1		2			1		3			1
								2					1
			3

		1	2	3
		3	1			−3I
				−1			~
		1	1	1		− I
		3	2	1		−3I

	1	2	3
	0	1	2
	0	0	0
	0	0	0

		Решение						1	2	3
	1	2	3
	0	−5	−10		/(−5)			0	1	2
						~							~
	0	−1	−2		/(−1)			0	1	2		− II
	0	−4	−8		/(−4)			0	1	2		− II

r = 2

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений

						3x			+7x				= 2
								1			2
						5x1 +2x2						=13
		3	7							x								=	2
A =								X		=		1					B
		5 2
										x2									13
3 7			x					=		3 x		+7			x				2
	5 2				1					1					x	2	=
			x			2				5 x		+2						13
										1						2

AX = B

a11

An×m = a21

...

am1

a x +a x				2	+... +a		x		n		=b
	11 1	12			1n						1
a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn =b2
............................................
a	x +a	m2	x	2	+... +a	mn		x		n	=b
	m1 1										m

a	...	a		x
12		1n		1
a22	...	a2n		x2
...	...	....		X =
				...
am2	...
		amn		xn

b1 B = b2...bm

AX = B