Пример. Решить систему уравнений:	2x + y − z = 0
		3y + 4z = −6
		x +z =1

					Решение
	2	1	−1		x		0
	0	3	4				−6
A =					X = y	B =
	1	0	1				1
					z

2 1 −1 = 0 3 4 = 2 3 1+1 1 4 +0 0 (−1) −1 3 (−1) −2 4 0 −0 1 1 =13

1 0 1

	2	1	−1		x			0
	0	3	4					−6
A =					X = y		B =
	1	0	1					1
					z

		0	1	−1
x =		−6 3		4			= 0 3 1+1 1 4 +(−6) 0 (−1) −1 3 (−1) −(−6) 1 1−0 0 4 =13
		1	0	1

		2	0	−1
y =		0	−6 4				= 2 (−6) 1+0 +0 −(−1) (−6) 1−0 −2 4 1 = −26
		1	1	1

		2	1	0
z =		0	3	−6		= 2 3 1+1 1 (−6) +0 −0 −0 −0 = 0
		1	0	1

	x =	x	=	13				=1
				13
	y =	y	=			−26			= −2
				13
	z =	z	=		0			= 0
				13

Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы

A X = B

A−1 A X = A−1 B

X = A−1 B

Пример. Решить систему уравнений с помощью

обратной матрицы	x − y + z = −2
	2x + y + z =3
	x + y +2z =1

					Решение
	1	−1 1			x		−2
	2	1	1				3
A =					Х = y	B =
	1	1	2				1
					z

1 −1 1

1. A = 2 1 1 =1 A11 +(−1) A12 +1 A13 1 1 2

A = M	11	=		1	1		= 2 −1 =1	A = −M	12	= −		2	1		= −(4 −1) = −3
11				1	2			12				1	2

A = M	13	=		2	1		= 2 −1 =1
13				1	1

A =1 1+(−1) (−3) +1 1 =5

2. ( Aij ) A11 =1

A12 = −3

A13 =1

A = −M			21	= −						−1 1							= −(−2 −1) =3
21								1			2
A	= −M	23		= −		1 −1									= −(1−(−1)) = −2
23						1					1
A = −M			32	= −						1	1		= −(1−2) =1
32										2	1

A = M			22	=					1			1		= 2 −1 =1
22									1			2
A = M	31	=			−1					1		= −1−1 = −2
31					1					1
A = M			33	=			1					−1				=1+2 =3
33							2					1

(A )=		1	−3	1
		3	1	−2
ij
		−2	1	3

~			1	−3 1 T				1	3	−2
	T		3	1	−2			−3 1		1
3. A = (Aij )		=					=
			−2 1		3			1	−2 3

1

~

1

1

3

−2

1/ 5

3/ 5

−2 / 5

−1

4.

A

=

A =

−3 1

1

=

−3/ 5 1/ 5

1/ 5

A

5

1

−2 3

1/ 5

−2 / 5 3/ 5

		1	−1 1			1/ 5		3/ 5	−2 / 5			1	0	0
A A−1		2	1	1			−3/ 5 1/ 5		1/ 5			0	1	0
	=										=
		1	1	2			1/ 5	−2 / 5 3/ 5				0	0	1

1/ 5

3/ 5

−2 / 5

−2

−3/ 5 1/ 5

1/ 5

3

=

Х = А−1В =

1/ 5

−2 / 5 3/ 5

1

−2 / 5 +9 / 5 −2 / 5

5 / 5

1

6 / 5 +3/ 5 +1/ 5

10 / 5

2

=

=

=

−2 / 5 −6 / 5 +3/ 5

−5 / 5

−1

Проверочные действия

1−2 −1 =

−2

1+2 −1

=3

2

1+2 −2 =1

x			1
			2
y		=
z			−1