Обратная матрица

Обратная матрица

An×n

An−×1n

A A−1 = A−1 A = E

Определение: Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля (Δ≠0) и вырожденной – в противном случае ( =0).

5	3		=5		1 −3 2 = −1				5		3
											−невырожденная матрица
2	1								2
											1
6	3			=6		2	− 4 3 =0			6	3		−вырожденная матрица
4	2									4	2

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

A		≠ 0	A−1 −существует

1.Найти определитель матрицы. Если он отличен от

нуля, то перейти к следующим пунктам.

A

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов

исходной матрицы и составить из них матрицу:

( Aij )

3. Транспонировать полученную матрицу, т.е. найти

присоединенную матрицу для исходной матрицы

~	T
A = ( Aij )

4. Вычислить обратную матрицу по формуле

−1 = 1 ~

A A A

5. Выполняем проверочные действия:

A A−1 = E или A−1 A = E

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

	3	−4	6
	2	−3	1
	−3	5	1

Решение

−8

−5

1

1.

A

= 2

2.

(А )=

34 21

−3

ij

14

9

−1

~

−8

34

14

3.

T

−5 21 9

A = (Аij )

=

1

−3

−1

1

−8

34 14

−4

17

7

A−1

4.

=

−5

21 9

=

−5 / 2

21/ 2

9 / 2

2

1/ 2

−3/ 2

−1/ 2

1 −3 −1

Проверочные действия

	−4	17	7		3	−4	6			1	0	0
	−5 / 2 21/ 2 9 / 2				2	−3	1			0	1	0
A−1 A =									=
	1/ 2	−3 / 2 −1/ 2			−3 5 1					0	0	1