Эквивалентность системы уравнений матричному уравнению

a x +a x				2	+... +a		x		n		=b
	11 1	12			1n						1
a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn =b2
............................................
a	x +a	m2	x	2	+... +a	mn		x		n	=b
	m1 1										m

a11 a12

a21 a22

~... ...

am1 am2

...

...

...

...

a		x			b
	1n		1		1
a2n x2					b2
....					=
		...			...
a		x	n		b
	mn				m

AX = B

Пример. Записать с помощью матричного равенства систему уравнений

	x +2 y +3z = 2
	2x +6 y +4z = −6

3x +10 y +8z = −8

					Решение
	1	2	3		x		2
	2	6	4				−6
A =					X = y	B =
	3	10 8					−8
					z

AX = B

Решением системы называется такая совокупность n чисел x1=k1, x2=k2,…, xn=kn при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

3x +2x		2	=5	3x +2x			2	=5	−несовместная система
	1			~	1
3x1 +2x2 =3						0 = −2

3x

+2x

=9

3x

+2x

=

9

3x +2 6

=9

~

1

2

~

1

2

~

1

3x1 + x2 =3

− x2 = −6

x2 = 6

3x

= −3

x = −1

−совместная и определенная система

1

~

1

x2 = 6

x2 = 6

3x

+2x

=9

3x

+2x

=9

3x

+2с =9

~

1

2

~

1

2

~

1

6x1 +4x2 =18

0 = 0

x2 = с

3x

=9 −

2с

~

x =3 −2 / 3с

−совместная и неопределенная система

1

1

x2 = с

x2 = с

Система ЛАУ

Совместная Несовместная

Определенная Неопределенная

Решение систем линейных алгебраических

уравнений с помощью правила Крамера

A X = B

=A ≠ 0

i−определитель, который получается из заменой i − го столбца на столбец В

xi = i