Минор k-го порядка

Минором порядка k заданной матрицы называется определитель любой квадратной матрицы k-го порядка, которая находится на пересечении произвольных k столбцов и k строчек прямоугольной матрицы.

k столбцов

k

строк

• •• *• *

• •• *

• •

•• *•

••

•*

•*

••

•*

••

•*

••

••

•*

•*

••

•*

••

•*

••

•	•	•	•
•	•	*
			•
•	•	*	•
•	•	•
			•
•	•	*	•
•	•	•
			•
•	•	*
			•
•	•	•
			•

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

Пример. В данной матрице выписать миноры всех возможных порядков

	1	5	2
	3	1	2
	−2	0	5

Решение

Миноры первого порядка

		1		=1				5		=5				2				= 2
		3				=3		−2				= −2		0			= 0

	1	5	2
	3	1	2
	−2	0	5

Миноры второго											порядка
	1	5		= −14				1	2		= −4				5	2			=8
	3	1						3	2						1	2
	1		5			=10		1	2				=9		5	2				= 25
	−2		0					−2		5					0	5
	3	1				= 2		3	2				=19		1	2				=5
	−2		0					−2		5					0	5

Минор третьего порядка
		1	5	2			1	2		3 2		3 1
		3	1	2		=1			−5		+2		=1 5 −5 19 +2 2 = −86
		−2	0	5			0	5		−2 5		−2 0

Рангом матрицы A называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Обозначение: r(A) или rang(A)

r(Am×n)≤min(m,n)

Пример. Определить ранг матрицы		3	1	−2	7	0
		1	2	0	5	2

Решение

m = 2 n =5 r ≤ min(m, n)

r ≤ min(2,5) r ≤ 2

13 12 = 6 −1 =5

r = 2

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r(A).

Замечание. Базисных миноров может быть несколько.