- •Матрицы
- •Размер матрицы
- •Пример. Выпишите все элементы матрицы.
- •Запись матрицы в общем виде
- •Прямоугольная матрица
- •Квадратная матрица
- •Матрица-строка
- •Матрица-столбец
- •Единичная матрица
- •Нулевая матрица
- •Равенство матриц
- •Действия над матрицами
- •Транспонирование
- •Сложение матриц
- •Пример. Найти сумму матриц.
- •Пример. Найти сумму матриц.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства
- •Умножение матриц
- •Свойства
- •Определители
- •Определители матриц первого и второго порядка
- •Пример. Вычислить определитель
- •Определитель матрицы третьего порядка
- •Пример. Найти определитель
- •Минор элемента аij определителя
- •Алгебраическое дополнение элемента аij определителя
- •Определитель произвольного порядка
- •Пример. Найти определитель
- •Пример. Вычислить определитель
- •Свойства определителей
- •Свойства определителей
- •Замечание:
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Свойства определителей
- •Пример
- •Обратная матрица
- •Обратная матрица
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Эквивалентные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Минор k-го порядка
- •Пример. В данной матрице выписать миноры всех возможных порядков
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Примеры ступенчатых матриц
- •Пример. Определить ранг матрицы
- •Замечания:
- •Линейная зависимость и независимость
- •Линейная комбинация векторов
- •Основная теорема о ранге матрицы
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений
- •Эквивалентность системы уравнений матричному уравнению
- •Пример. Записать с помощью матричного равенства систему уравнений
- •Пример. Решить систему уравнений:
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы
- •Расширенная матрица
- •Однородные системы ЛАУ
Расширенная матрица
a11
Am×n = a21
...
am1
a |
... |
a |
|
b |
|
||
|
12 |
|
|
1n |
|
1 |
|
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|||
... |
... |
.... |
|
B = |
|
||
|
... |
|
|||||
a |
m2 |
... |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
mn |
m |
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
11 |
|
12 |
... |
a |
1n |
|
1 |
|
||
А |
= |
a |
21 |
a |
22 |
2n |
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
В |
... |
... |
... .... |
|
... |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
... |
a |
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
mn |
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Теорема. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Система ЛАУ
Совместная |
Несовместная |
r(A)=r(A|B)=r |
r(A)≠r(A|B) |
Определенная |
Неопределенная |
r=n |
r<n |
Пример. Решить систему |
|
x |
+ x |
|
+ x |
=3 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2x1 − x2 + x3 = 2 |
|||||
|
x +4x |
2 |
+2x |
|
=5 |
||
|
|
1 |
|
3 |
|
Решение
|
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
1 1 |
1 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
−1 1 |
|
2 |
|
~ |
|
0 |
−3 |
−1 |
|
−4 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
0 |
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
r( A) ≠ r( A | B) система несовместная
Пример. Решить систему |
x |
− x |
|
+3x |
= −5 |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3x1 − x2 − x3 =1 |
||||||
|
2x |
|
+ x |
2 |
−9x |
=14 |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
||
1 −1 |
3 |
|
−5 |
|
|
1 |
−1 3 |
|
−5 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
−1 |
−1 |
|
1 |
|
~ |
|
0 2 |
−10 |
|
16 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 −9 |
|
14 |
|
|
|
0 |
3 |
−15 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 3 |
|
−5 |
|
|
1 −1 3 |
|
−5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
~ |
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
r( A) = r( A | B) = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 |
−5 |
|
8 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
совместная система
n =3 −число неизвестных
r < n система неопределенная
1 |
−1 |
3 |
|
−5 |
x |
− x |
|
+ |
3x = −5 |
|||
|
|
|||||||||||
|
0 1 |
−5 |
|
8 |
|
|
||||||
|
|
|
~ |
1 |
|
2 |
|
3 |
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
x2 −5x3 =8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− x |
|
+3x = −5 |
x |
−5c −8 +3c = −5 |
x |
= |
2c +3 |
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
x2 =5c +8 |
~ |
|
x2 =5c +8 |
~ x2 =5c +8 |
||||||
|
|
|
x |
|
= c |
|
|
x = c |
|
|
x |
= c |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
Пример. Решить систему |
|
3x |
+4x |
|
+2x |
|
= |
8 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
||
|
2x1 −4x2 −3x3 = −1 |
|||||||
|
|
x |
+5x |
2 |
+ x |
= 0 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 4 |
2 |
|
8 − II |
|
1 |
8 |
5 |
|
9 |
|
1 |
8 |
5 |
|
9 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
−4 |
−3 |
|
|
~ |
|
2 −4 |
−3 |
|
|
−2I ~ |
|
0 |
−20 |
−13 |
|
−19 |
|
* (−3) ~ |
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
5 |
1 |
|
0 |
− I |
|
0 |
−3 |
−4 |
|
−9 |
* (−20) |
1 8 5 |
|
9 |
|
|
1 |
8 |
5 |
9 |
|
1 8 |
5 |
|
9 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
60 |
39 |
|
57 |
|
/ 3 ~ |
|
0 |
20 |
13 |
19 |
|
~ |
|
0 |
20 13 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
0 |
60 |
80 |
|
180 |
|
− II |
|
0 |
0 |
41123 |
/ 41 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r( A) = r( A | B) =3 = n
система совместная и определенная
1 |
8 |
5 |
|
9 |
−5III |
1 |
8 |
0 |
|
−6 |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
20 13 |
|
19 |
|
−13III ~ |
|
0 20 |
0 |
|
−20 |
|
/ 20 ~ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8 |
0 |
|
−6 −8II |
|
1 0 0 |
|
2 |
|
x1 |
= 2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
−1 |
|
~ |
|
|
−1 |
~ x2 |
= −1 |
||||
|
0 |
0 1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
x |
=3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|