8.2 Выборочное среднее и выборочная дисперсия

Среднее значение случайных величин статической совокупности отражает действие общих для данного явления закономерностей. Множество самых разнообразных случайных причин, различным образом взаимодействующих друг с другом, определяет результат отдельного единичного наблюдения. При вычислении среднего значения происходит взаимопогашение случайностей. Поэтому среднее значение выражает закономерности, присущие всей совокупности наблюдений. Таким образом, среднее значение следует рассматривать как сводную, обобщающую характеристи­ку совокупности наблюдений.

Рис. 8.1 Гистограмма распределения временных параметров.

Выборочное среднее у вычисляется по формуле:

(8.2)

где у_i- значение i-го наблюдения.

В случае, когда диапазон измерения наблюдаемой величины разбит на интервалы, для вычисления среднего значения у выборки нужно предварительно заменить интервалы их срединными значениями (см. 4-й столбец табл. 8.1). Если обозначить через y_iн нижнюю границу i-го интервала, а y_iв - его верхнюю границу, то срединное значение каждого интервалa можно найти по формуле:

(8 .3)

Затем определяется среднее значение у выборки:

(8.4)

Где n - общее количество наблюдений; m_i, - количество наблюдений, попавших в i-й интервал; k - число интервалов, на которые разбита выборка.

Найденное из выборочной статистической совокупности значение называют оценкой математического ожидания, или выборочным средним, в отличие от генерального среднего, которое можно найти из генеральной совокупности.

Очевидно, что одной средней величиной нельзя отобразить все характерные черты статистической совокупности. Так, например, в каждой из двух сравниваемых пожарных частей среднее время развертывания одной и той же насосно-рукавной системы для транспортировки воды перекачкой личным составом всех караулов может оказаться приблизительно одинаково. Однако в одной из этих пожарных частей может быть передовой караул с высокими профессиональными показателями и отстающие с низкими профессиональными показателями, а в другой пожарной части профессиональные показатели всех караулов по развертыванию сил и средств близки к средней величине. Поэтому исследователя технологии оперативно-тактических действий, и уровня подготовки караулов будет интересовать не только среднее время развертывания насосно-рукавных систем дежурными караулами, но и разброс (рассеивания) времени развертывания относительно среднего значения.

Характеристика рассеивания играет большую роль при оценке профессионального мастерства дежурных караулов по развертыванию насосно-рукавных систем.

Если при многократном повторении выполняемых ОТД время группируется в близи номинального значения, в пределах нормативных значений, причем среднее время совпадает с номинальным, то это означает, что караул укладывается в существующие нормативные требования.

Иными словами, исследователю необходимо знать изменчивость, или вариацию, наблюдаемой характеристики оперативно-тактических действий. Самый простой способ, которым можно охарактеризовать изменчивость характеристики ОТД, состоит в определении размаха случайной величины. Размах равен разности между наибольшим и наименьшим наблюдениями. Однако величина такого показателя будет зависеть от случайностей расположения крайних наблюдений статистической совокупности. В то же время основная масса наблюдений, которая заключена между наименьшим и наибольшим наблюдениями, не найдет никакого отражения в этом показателе.

В большинстве случаев для характеристики изменчивости выборки используют выборочную дисперсию (оценку дисперсии) S²,которая является обобщающей статистической характеристикой вариации наблюдений. Оценка дисперсии S² определяется по формуле:

(8.5)

или по формуле:

(8.6)

Этими выражениями удобно пользоваться при небольших объемах выборок.

Если диапазон изменения наблюдаемой величины разбит на m интервалов, то оценка дисперсии определяется по формуле:

(8.7)

Из формулы (8.5) видно, что оценка дисперсии вычисляется как среднее значение квадратов отклонений случайных величин от среднего значения.

Корень квадратный из оценки дисперсии называют выборочным средним квадратичным отклонением:

. (8.8)

При вычислении оценки дисперсии учитываются все наблюдения статической совокупности. Чем больше отклонение случайных величин от среднего значения, тем больше оценка дисперсии и среднее квадратичное отклонение. Таким образом, оценка дисперсии и среднее квадратичное отклонение характеризуют степень разброса случайных величин относительно среднего значения.

Достоинство величины среднего квадратичного отклонения заключается в том, что ее размерность совпадает с размерностью измеряемой величины.

В знаменателе формулы (8.5) фигурирует выражение (n-1), которое называется числом степеней свободы f. В общем случае число степеней свободы равно количеству независимых значений, участвующих в определении того или иного параметра статистической совокупности.

Потерю одной степени свободы при вычислении оценки дисперсии S² можно объяснить следующим образом. Если статистическая совокупность содержит один единственный элемент, то по нему можно хотя бы грубо, с большой ошибкой, но все же найти среднее. Однако по единичному измерению нельзя даже грубо оценить рассеивание случайной величины. Для оценки рассеивания необходимо иметь, как минимум, два измерения. Одно из этих измерений (степень свободы) мы как бы теряем перед вычислением дисперсии для вычисления среднего значения, без которого нельзя найти оценку дисперсии.

Часто для оценки изменчивости (вариации) случайных величин используют коэффициент вариации v. Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему значе­нию выходной величины в процентах:

(8.9)

Он характеризует степень изменчивости (вариации) случайных величин по сравнению со средним значением.