Пфп для трех факторов в нормализованных обозначениях

Номер опыта	x1	х2	x3	y
1	-1	-1	-1	y1
2	+1	-1	-1	y2
3	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	-1	y4
5	-1	-1	+1	y5
6	+1	-1	+1	y6
7	-1	+1	+1	y7
8	+1	+1	+1	y8

Для геометрического изображения ПФП 2³ потребуется уже факторное пространство с тремя координатами: x₁, x₂, x₃. В этих нормализованных координатах опытам ПФП 2³ соответствуют вершины куба, а в натуральных обозначениях факторов - вершины параллелепипеда.

Существует несколько способов построения полных факторных планов, более простых, чем перебор. Рассмотрим один из них, который можно легко уяснить, обращаясь к матрицам планирования в табл.11.3 и 11.4. Анализируя столбцы этих таблиц, легко заметить, что для построения ПФП с произвольным числом факторов k достаточно:

заполнить столбец x₁ цифрами -1 и +1 поочередно; заполнить столбец x₂, чередуя эти цифры по две; в столбце x₃ эти цифры чередовать по четыре; в столбце х₄ по восемь и т. д.

11.2 Свойства матрицы планирования пфп

Матрица планирования ПФП в нормализованных обозначениях обладает следующими характерными свойствами.

Симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов столбца любого фактора равна нулю:

(11.5)

где x_ij - значение i-го фактора в j- м опыте;

i =1, 2, ..., k; j = 1,2, ..., N;

N- число основных опытов.

Нормированность - сумма квадратов элементов столбца любого фактора равна числу опытов:

(11.6)

Ортогональность - сумма почленных произведений любых двух столбцов матрицы равна нулю:

(11.7)

Матрицы планирования, обладающие этими свойствами, называют ортогональными.

11.3 Построение математических моделей на основе пфп

Уравнение, в виде которого представляется математическая модель, называется уравнением регрессии. По результатам ПФП можно, в частности, построить линейную модель объекта:

ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ +... + b_kx_k. (11.8)

Уравнение регрессии (11.8) записано в нормализованных обозначениях факторов. С помощью замены (11.4) легко перейти к натуральным значениям факторов.

Коэффициенты b_i, i = 0, 1,..., k, называемые коэффициентами регрессии, отыскиваются по результатам эксперимента с помощью метода наименьших квадратов. Благодаря свойствам (11.5)-(11.7) матриц ПФП формулы оказываются весьма простыми, а именно:

(11.9)

Из уравнения (11.9) видно, что для вычисления коэффициента регрессии b_i используется столбец значений соответствующего фактора х_i.

Коэффициент b₀ равен среднему арифметическому значений выходной величины.

(11.10)

Для того чтобы формула (11.9) была справедлива для коэффициента b₀ при i = 0, в матрицу планирования часто вводят фиктивный фактор x₀, который в каждом опыте принимает значение +1 (см. табл. 11.5).

Распишем формулы (11.9) и (11.10) для ПФП 2² с двумя факторами (табл. 11.5). Линейная модель в этом случае имеет вид

ŷ = b₀+b₁x₁+b₂x₂. (11.11)

Коэффициенты регрессии вычисляются по формулам:

(11.12)

(11.13)

(11.14)

Модель объекта в виде полинома 1-го порядка (11.11) является простейшей. Она далеко не всегда удовлетворительно описывает объект. Полные факторные планы позволяют, оказывается, получить и более сложные модели. Именно с их помощью можно вычислить коэффициенты регрессии, описывающие взаимодействия факторов. Так, для плана 2² в уравнении регрессии можно включить член b₁₂х₁х₂. Модель, таким образом, отыскивается в виде

ŷ = b₀+b₁x₁+b₂x₂.+ b_l2х₁х₂ (11.15)

В этом случае в матрицу планирования вводят столбец с произведением факторов х₁ х₂ (табл.11.5). Знаки этого столбца используются при вычислении коэффициента регрессии:

(11.16)

Матрица базисных функций ПФП 2² для модели (11.5)

Таблица 11.5

Номер опыта	x0	x1	x2	x1 x2	y
1	+ 1	-1	-1	+1	y1
2	+ 1	+ 1	-1	-1	y2
3	+1	-1	+1	-1	y3
4	+ 1	+ 1	+1	+1	y4

Теперь каждому слагаемому в модели (11.15) соответствует определенный столбец в табл.11.5: слагаемому b_o - столбец x₀; слагаемому b₁x₁ - столбец x₁; слагаемому b₂х₂ - столбец х₂; наконец, последнему слагаемому b₁₂x₁ х₂ - столбец х₁х₂. Таблицы, обладающие этим свойством, называются матрицами базисных функций для соответствующей модели. В табл.11.5 приведена, таким образом, матрица базисных функций ПФП 2² для модели (11.15).

Отметим, что матрица базисных функций, приведенная в табл.11.5, сохраняет свойства (11.5)-(11.7), за исключением свойства симметричности по отношению к столбцу x_о.

Для ПФП с тремя факторами 2³ в линейную модель можно дополнительно ввести следующие члены, характеризующие взаимодействия двух факторов: b₁₂x₁х₂; b₁₃x₁x₃; b₂₃x₂x₃. Эти члены будем называть парными взаимодействиями, или взаимодействиями 1-го порядка. Кроме того, для этого плана можно рассмотреть и включить в уравнение регрессии член с произведением трех факторов, которое будем называть тройным взаимодействием b_l23x₁x₂x₃, или взаимодействием второго порядка. В результате модель принимает вид

ŷ = b₀+b₁x₁+b₂x₂.+ b₃х₃ + b_{l 2}х₁х₂+ b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b_l23x₁x₂x₃ (11.17)

Для получения матрицы базисных функций в матрицу планирования вводятся соответствующие столбцы (табл. 11.6).

Матрица базисных функций ПФП 2³ для модели (11.17)

Таблица 11.6

Номер опыта	xо	x1	х2	x3	х1х2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
1	+ 1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	y3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	y4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

Аналогично ПФП 2⁴ позволяет оценить, помимо свободного члена и линейных коэффициентов, 6 парных взаимодействий (число их в этом плане равно числу сочетаний из 4:= 6), 4 тройных взаимодействия (= 4) и одно четверное взаимодействие, или взаимодействие 3-го порядкаb₁₂₃₄x₁x₂x₃x₄.

В общем случае число взаимодействий r-го порядка для k факторов равно числу сочетаний из k по (r + 1):

(11.18)

Формулы для вычисления коэффициентов взаимодействия аналогичны формуле (11.19), в числителе которой рассчитывается сумма произведений элементов столбцов соответствующих факторов, умноженных на значение» y_j, j = 1,2. ...,N.

Например, коэффициент при парном взаимодействии b_iu равен

(11.19)

i, и = 1,2,..., к; i ≠ и.

Коэффициенты регрессии b_i найденные по результатам эксперимента, являются лишь оценками некоторых истинных коэффициентов регрессии, которые мы обозначим β_i.

В ПФП каждый коэффициент b_i оценивает величину соответствующего истинного коэффициента β_i, так называемые несмешанные оценки. Для модели (11.15) это можно записать так:

.

Как указывалось ранее, вид математической модели выбирается заранее, до проведения опытов. Поэтому необходима проверка пригодности модели для описания объекта - так называемая проверка адекватности модели. Эту проверку можно сделать только в случае, если число опытов плана N превышает число оцениваемых коэффициентов регрессии p, то есть выполняется условие

N > p

Такие экспериментальные планы называются ненасыщенными. Планы для которых выполняется соотношение N = p, называются насыщенными. Насыщенные планы не позволяют проверить адекватность модели. Легко показать, что по результатам ПФП 2² и 2³, приведенным в табл. 11.5 и 11.6 соответственно, можно проверить адекватность линейных уравнений регрессии. Однако те же планы, используемые для построения моделей (11.15) и (11.17), являются насыщенными и не позволяют провести проверку адекватности модели.

При выборе математической модели следует также учесть, что экс­периментатора, как правило, интересуют в наибольшей степени линейные коэффициенты регрессии и парные взаимодействия. В меньшей степени- взаимодействия более высокого порядка, которыми часто пренебрегают. Избыточные опыты в этом случае используют для проверки адекватности модели.