13.2 Расчёт коэффициентов регрессии для в-планов

Для построения регрессионной модели по результатам В-плана нет необходимости обращаться к ПЭВМ.

Ниже приведены формулы для расчёта коэффициентов регрессии для этих планов:

(13.6)

где bo - свободный член;

b_i - линейные коэффициенты регрессии, i= 1,2,... k;

b_ii - квадратические коэффициенты регрессии, i - 1,2,... , к;

b_iu - коэффициенты при парных взаимодействиях, i ≠ и;

T_i - коэффициенты, значения которых указаны ниже.

В формулах (13.6) обозначено:

(13.7)

Оценки дисперсий коэффициентов регрессии и ковариации между ними определяют по формулам:

(13.8)

Где - оценка дисперсии характеризующее ошибку эксперимента (см. раздел 11).

Рассмотрим два случая применимости этих формул.

Отсутствие дублированных опытов, не считая опытов в центре плана. В этом случае: N - число запланированных опытов. Например, для плана B_k с ПФП в ортогональной части и с п0 опытами в центре плана N = 2^k + 2k + n₀; уj - результат j-го опыта, j = 1, 2,..., N. Величина п в формулах (13.8), представляющая собой число дублированных опытов в каждой серии, в данном случае принимается равной 1.

Равномерное дублирование. В этом случае формулы (13.7), (13.8) по-прежнему справедливы, но под у_j понимается среднее арифметическое по результатам j-й серии дублированных опытов; N - число серий дублированных опытов.

Для проверки адекватности полученной математической модели использовать методику изложенную в разделе 11.

Значения коэффициентов Т₁,..., Т₆ для В-планов с ПФП в ортогональной части и числом факторов k = 2,..., 5 при отсутствии опытов в центре плана приведены в табл. 13.3. Они также могут быть определены расчетом. Для этого необходимо определить вспомогательные коэффициенты.

Сначала вычисляются вспомогательные коэффициенты с помощью соотношений:

(13.9)

Далее вычисляется еще одна группа вспомогательных коэффициентов: a, b, c ,d:

(13.10)

После вычисления вспомогательных коэффициентов определяются коэффициенты T_i

(13.11)

Таблица 13.3

Тi	Вид плана
	В2 (k =2, N= 8)	В3 (k=3, N=14)	B4 (k=4,N=24)	В5 с ПФП в ортогональной части (k= 5, N=42)
1	2	3	4	5
Т1	1,25	0,40624	0,22917	0,15821
Т2	0,75	0,15624	0,0625	0,0332
Т3	0,16667	0,1	0,05556	0,02941
Т4	0,5	0,5	0,5	0,5
Т5	0,25	-0,09375	-0,10417	-0,0918
Т6	0,25	0,125	0,0625	0,03125

В частном случае двух факторов формулы для коэффициентов регрессии и оценок их дисперсий для В-планов имеют следующий вид

(13.12)

(13.13)

Где i=1, 2;

(13.14)

(13.15)

(13.16)

(13.17)

(13.18)

13.3 Униформ-ротатабельный план 2-го порядка.

В названии этих планов отражены два их основные свойства: ротатабельность и униформность. Дадим определение этих свойств, оперируя геометрическими понятиями. Рассмотрим факторную плоскость, то есть плоскость, по координатным осям которой откладываются значения варьируемых факторов - в данном случае их нормализованные обозначения x₁ и x₂ (рис.13.1).

Назовем центром плана, или центральной точкой плана, условия опыта, в котором значение каждого фактора равно его основному уровню - ноль в нормализованных обозначениях. На факторной плоскости центр плана совпадает с началом координат 0. Будем характеризовать точность уравнения регрессии ŷ = f(x₁, x₂,..., x_k) величиной, обратной к дисперсии σ²{ŷ} значения выходной величины ŷ, предсказанной уравнением регрессии.

Рис. 13.1 Факторная плоскость униформ-ротатабельного плана 2-го порядка.

Свойство ротатабельности плана означает, что точность уравнения регрессии, полученного по результатам его реализации, одинакова во всех точках факторного пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от центра плана. В частном случае двух факторов, точность модели постоянна для всех точек любой окружности, с центром в начале координат факторной плоскости.

Для планов, обладающих свойством ротатабельности без других дополнительных свойств, точность модели уменьшается при увеличении радиуса окружности. Свойство униформности в сочетании с ротатабельностью означает постоянство дисперсии σ²{ŷ} в некоторой окрестности центра плана. Таким образом, униформ-ротатабельные планы с хорошей точностью описывают объект вблизи центра плана и со значительно большей погрешностью - на границах области варьирования факторов.

Каждый фактор УРП 2-го порядка варьируется на 5 уровнях, нормализованные обозначения которых: - α, - 1,0, + 1, + α, где α - некоторое число, большее единицы. Оно называется звездным плечом. Число α используется при построении некоторых опытов, которые входят в состав униформ-ротатабельных планов и называются звездными точками УРП. Это такие опыты, в которых один из факторов принимает значение + α или - α, а остальные фиксируются на основном уровне. Очевидно, что всегда можно поставить 2k различных опытов в звездных точках.

Выбором величины звездного плеча α обеспечивается ротатабельность плана. Как видно из предыдущего изложения, каждый фактор в УРП варьируется в пределах от - α до + α (в нормализованных обозначениях), в отличие от ПФП и ДФП. Формулы для перехода от натуральных переменных кнормализованным в УРП те же, что и для ПФП и ДФП, если только полагать интервал варьирования равным разности между значением фактора на уровне + 1 и значением его на основном уровне:

(13.19)

где Δ_i = X_imax – X_i(0);

X_i⁰ - основной уровень натурального фактора X_i;

X_imax - максимальное значение фактора X_i.

Также как и В-планы, УРП являются композиционными планами. В состав униформ-ротатабельных планов входят опыты ПФП или, в некоторых случаях, ДФП, а именно полуреплика полного факторного плана. Таким образом, униформ-ротатабельный план содержит:

точки ПФП или ДФП - это так называемая ортогональная часть плана;

2k звездных точек;

некоторое количество точек в центре плана (центральных точек) - табл.13.4.

Звездное плечо ротатабелъных планов определяется либо из формулы α =2^{k / 4} , если в ортогональной части плана содержится ПФП, либо из формулы а - 2 ^(k-1)/4 , если план содержит полуреплику.

Таблица 13.4