10.1 Планирование эксперимента с целью получения математического описания (математической модели) объекта
В данном случае целью экспериментального исследования является получение зависимости некоторой выходной величины объекта у как функции от варьируемых факторов X1, Х2,...,Xk:
y=f(X1, Х2,...,Xk) (10.1)
Эту зависимость и будем называть здесь математической моделью объекта. Функцию f (X1, Х2,...,Xk) называют функцией отклика, а уравнение (10.1) -уравнением регрессии.
Пример 1. Пусть объект исследования –развертывание напорно-рукавной линии на грунтовом горизонтальном участке местности. Требуется определить зависимость время развертывание напорной рукавной линии в зависимости от расстояния прокладки L, количества участников N, массы переносимого пожарного оборудования и инструмента, m. Эти переменные здесь являются варьируемыми факторами, а выходная величина – это среднеарифметическое время выполнения развертывания, τ. В данном случае по результатам эксперимента требуется отыскать зависимость
τ= f(L ,m, N). (10.2)
Построенная математическая модель позволяет получить богатую информацию о самом объекте и способах управления им. С помощью математической модели легко, например, оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину; модель может служить основой для оптимизации процесса. Существенно, что вид математической модели должен быть задан заранее. Иными словами, еще до проведения эксперимента следует выбрать, к какому классу относится функция f (X1, Х2,...,Xk). Например, можно искать математическую модель в виде многочлена (полинома) определенного порядка либо в виде экспоненты, тригонометрического многочлена и т. д. Таким образом, при планировании эксперимента с целью математического описания объекта по результатам опытов рассчитываются "всего лишь" значения констант в математической модели. Если, например, имеется единственный варьируемый фактор X, а моделью является экспонента
(10.3)
То для построения модели в явном виде следует по результатам эксперимента вычислить значения коэффициентов B0 и В1.
Естественно, возникает вопрос: из каких соображений определяется вид математической модели? Здесь исследователю должны помочь знания об объекте, которыми он располагает до постановки эксперимента - так называемая априорная* информация. Имеются в виду всевозможные исследования данного объекта, проведенные ранее экспериментаторами и теоретиками; сведения, накопленные исследователями ОТД и практиками. Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых математические модели объектов представляются в виде многочленов 1-го и 2-го порядков. Модель в виде многочлена 1-го порядка дает весьма приближенное описание объекта. Такая модель пригодна, как правило, на первом этапе исследования, при недостатке априорной информации. Модель в виде многочлена второго порядка дает более полное описание объекта.
Поскольку вид математической модели постулируется, задается до проведения эксперимента, остается пока открытым вопрос о достоверности такой модели. Для того чтобы оценить применимость построенной математической модели, соответствие ее исследуемому объекту, в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура, называемая проверкой адекватности математической модели. По результатам такой проверки исследователь имеет возможность принять или отвергнуть гипотезу о том, соответствует ли модель результатам эксперимента и, следовательно, пригодна ли она для описания объекта.